Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 24 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x + 2$

Schritt 1

Setze $24 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x + 2$ gleich $0$ .

$24 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x + 2 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $24 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x + 2$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

Schritt 2.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.041\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.125, \pm 0.25, \pm 0.1\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

Schritt 2.1.1.3

Setze $- 0.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze $- 0.5$ in das Polynom ein.

$24 {(- 0.5)}^{3} - 10 {(- 0.5)}^{2} - 7 \cdot - 0.5 + 2$

Schritt 2.1.1.3.2

Potenziere $- 0.5$ mit $3$ .

$24 \cdot - 0.125 - 10 {(- 0.5)}^{2} - 7 \cdot - 0.5 + 2$

Schritt 2.1.1.3.3

Mutltipliziere $24$ mit $- 0.125$ .

$- 3 - 10 {(- 0.5)}^{2} - 7 \cdot - 0.5 + 2$

Schritt 2.1.1.3.4

Potenziere $- 0.5$ mit $2$ .

$- 3 - 10 \cdot 0.25 - 7 \cdot - 0.5 + 2$

Schritt 2.1.1.3.5

Mutltipliziere $- 10$ mit $0.25$ .

$- 3 - 2.5 - 7 \cdot - 0.5 + 2$

Schritt 2.1.1.3.6

Subtrahiere $2.5$ von $- 3$ .

$- 5.5 - 7 \cdot - 0.5 + 2$

Schritt 2.1.1.3.7

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 0.5$ .

$- 5.5 + 3.5 + 2$

Schritt 2.1.1.3.8

Addiere $- 5.5$ und $3.5$ .

$- 2 + 2$

Schritt 2.1.1.3.9

Addiere $- 2$ und $2$ .

$0$

Schritt 2.1.1.4

Da $- 0.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{24 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x + 2}{2 x + 1}$

Schritt 2.1.1.5

Dividiere $24 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x + 2$ durch $2 x + 1$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$1$

$24 x^{3}$

$10 x^{2}$

$7 x$

$2$

Schritt 2.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $24 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$12 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$

Schritt 2.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$12 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			+	$24 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $24 x^{3} + 12 x^{2}$

				$12 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$24 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$12 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$24 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$12 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$24 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	-	$7 x$

Schritt 2.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 22 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$12 x^{2}$	-	$11 x$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$24 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	-	$7 x$

Schritt 2.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$12 x^{2}$	-	$11 x$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$24 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$22 x^{2}$	-	$11 x$

Schritt 2.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 22 x^{2} - 11 x$

				$12 x^{2}$	-	$11 x$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$24 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$22 x^{2}$	+	$11 x$

Schritt 2.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$12 x^{2}$	-	$11 x$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$24 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$22 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$4 x$

Schritt 2.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$12 x^{2}$	-	$11 x$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$24 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$22 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$4 x$	+	$2$

Schritt 2.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$12 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$24 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$22 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$4 x$	+	$2$

Schritt 2.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$12 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$24 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$22 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$4 x$	+	$2$
							+	$4 x$	+	$2$

Schritt 2.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x + 2$

				$12 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$24 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$22 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$4 x$	+	$2$
							-	$4 x$	-	$2$

Schritt 2.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$12 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
$2 x$	+	$1$		$24 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$24 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$22 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$4 x$	+	$2$
							-	$4 x$	-	$2$
										$0$

Schritt 2.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$12 x^{2} - 11 x + 2$

Schritt 2.1.1.6

Schreibe $24 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x + 2$ als eine Menge von Faktoren.

$(2 x + 1) (12 x^{2} - 11 x + 2) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 12 \cdot 2 = 24$ und deren Summe gleich $b = - 11$ ist.

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Schritt 2.1.2.1.1.1

Faktorisiere $- 11$ aus $- 11 x$ heraus.

$(2 x + 1) (12 x^{2} - 11 x + 2) = 0$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Schreibe $- 11$ um als $- 3$ plus $- 8$

$(2 x + 1) (12 x^{2} + (- 3 - 8) x + 2) = 0$

Schritt 2.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x + 1) (12 x^{2} - 3 x - 8 x + 2) = 0$

Schritt 2.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x + 1) ((12 x^{2} - 3 x) - 8 x + 2) = 0$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(2 x + 1) (3 x (4 x - 1) - 2 (4 x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x - 1$ .

$(2 x + 1) ((4 x - 1) (3 x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 x + 1) (4 x - 1) (3 x - 2) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

$3 x - 2 = 0$

Schritt 2.3

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.4

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $4 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 2.5

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $3 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 1) (4 x - 1) (3 x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{2}{3}$

Schritt 3