Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{3} \csc (x) + 2$

Schritt 1

Setze $\sqrt{3} \csc (x) + 2$ gleich $0$ .

$\sqrt{3} \csc (x) + 2 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3} \csc (x) = - 2$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{3} \csc (x) = - 2$ durch $\sqrt{3}$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{3} \csc (x) = - 2$ durch $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \csc (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 2}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3} \csc (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 2}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $\csc (x)$ durch $1$ .

$\csc (x) = \frac{- 2}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (x) = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 2.2.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 2.2.3.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 2.2.3.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 2.2.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.2.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.2.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 2.2.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$x = arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.1

Der genau Wert von $arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ ist $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Schritt 2.5

Die Kosekansfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um den Referenzwinkel zu finden. Addiere dann diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 2.6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Schritt 2.6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{4 π}{3}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 2.7

Ermittele die Periode von $\csc (x)$ .

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Schritt 2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.8

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 2.8.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{3}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Schritt 2.8.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 2.8.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.8.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 2.8.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 2.8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Schritt 2.8.4.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Schritt 2.8.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 2.9

Die Periode der Funktion $\csc (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3