Elementarmathematik Beispiele

$\frac{- 10 x + 20}{x^{2} - x - 20} x = - 3$

Schritt 1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{- 10 x + 20}{x^{2} - x - 20}$ mit $x$ .

$\frac{- 10 x + 20}{x^{2} - x - 20} x = - 3$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{- 10 x + 20}{x^{2} - x - 20}$ und $x$ .

$\frac{(- 10 x + 20) x}{x^{2} - x - 20} = - 3$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2} - x - 20, 1$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x^{2} - x - 20, 1$

Schritt 2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2} - x - 20$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{(- 10 x + 20) x}{x^{2} - x - 20} = - 3$ mit $x^{2} - x - 20$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{(- 10 x + 20) x}{x^{2} - x - 20} = - 3$ mit $x^{2} - x - 20$ .

$\frac{(- 10 x + 20) x}{x^{2} - x - 20} (x^{2} - x - 20) = - 3 (x^{2} - x - 20)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - x - 20$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- 10 x + 20) x}{x^{2} - x - 20} (x^{2} - x - 20) = - 3 (x^{2} - x - 20)$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(- 10 x + 20) x = - 3 (x^{2} - x - 20)$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 10 x \cdot x + 20 x = - 3 (x^{2} - x - 20)$

Schritt 3.2.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.3.1

Bewege $x$ .

$- 10 (x \cdot x) + 20 x = - 3 (x^{2} - x - 20)$

Schritt 3.2.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 10 x^{2} + 20 x = - 3 (x^{2} - x - 20)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 10 x^{2} + 20 x = - 3 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot - 20$

Schritt 3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$- 10 x^{2} + 20 x = - 3 x^{2} + 3 x - 3 \cdot - 20$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 20$ .

$- 10 x^{2} + 20 x = - 3 x^{2} + 3 x + 60$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Addiere $3 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 10 x^{2} + 20 x + 3 x^{2} = 3 x + 60$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 10 x^{2} + 20 x + 3 x^{2} - 3 x = 60$

Schritt 4.1.3

Addiere $- 10 x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$- 7 x^{2} + 20 x - 3 x = 60$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $3 x$ von $20 x$ .

$- 7 x^{2} + 17 x = 60$

Schritt 4.2

Subtrahiere $60$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 7 x^{2} + 17 x - 60 = 0$

Schritt 4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4

Setze die Werte $a = - 7$ , $b = 17$ und $c = - 60$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 7 \cdot - 60)}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Potenziere $17$ mit $2$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot - 7 \cdot - 60}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 7 \cdot - 60$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 7$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 28 \cdot - 60}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $28$ mit $- 60$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 1680}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 4.5.1.3

Subtrahiere $1680$ von $289$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{- 1391}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 4.5.1.4

Schreibe $- 1391$ als $- 1 (1391)$ um.

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1391}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 4.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (1391)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1391}$ um.

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1391}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 4.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 17 \pm i \sqrt{1391}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$x = \frac{- 17 \pm i \sqrt{1391}}{- 14}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache $\frac{- 17 \pm i \sqrt{1391}}{- 14}$ .

$x = \frac{17 \pm i \sqrt{1391}}{14}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1.1

Potenziere $17$ mit $2$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot - 7 \cdot - 60}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 4.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 7 \cdot - 60$ .

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Schritt 4.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 7$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 28 \cdot - 60}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 4.6.1.2.2

Mutltipliziere $28$ mit $- 60$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 1680}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 4.6.1.3

Subtrahiere $1680$ von $289$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{- 1391}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 4.6.1.4

Schreibe $- 1391$ als $- 1 (1391)$ um.

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1391}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 4.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (1391)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1391}$ um.

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1391}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 4.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 17 \pm i \sqrt{1391}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$x = \frac{- 17 \pm i \sqrt{1391}}{- 14}$

Schritt 4.6.3

Vereinfache $\frac{- 17 \pm i \sqrt{1391}}{- 14}$ .

$x = \frac{17 \pm i \sqrt{1391}}{14}$

Schritt 4.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{17 + i \sqrt{1391}}{14}$

Schritt 4.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1.1

Potenziere $17$ mit $2$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot - 7 \cdot - 60}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 4.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 7 \cdot - 60$ .

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Schritt 4.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 7$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 28 \cdot - 60}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 4.7.1.2.2

Mutltipliziere $28$ mit $- 60$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 1680}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 4.7.1.3

Subtrahiere $1680$ von $289$ .

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{- 1391}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 4.7.1.4

Schreibe $- 1391$ als $- 1 (1391)$ um.

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1391}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 4.7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (1391)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1391}$ um.

$x = \frac{- 17 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1391}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 4.7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 17 \pm i \sqrt{1391}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$x = \frac{- 17 \pm i \sqrt{1391}}{- 14}$

Schritt 4.7.3

Vereinfache $\frac{- 17 \pm i \sqrt{1391}}{- 14}$ .

$x = \frac{17 \pm i \sqrt{1391}}{14}$

Schritt 4.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{17 - i \sqrt{1391}}{14}$

Schritt 4.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{17 + i \sqrt{1391}}{14}, \frac{17 - i \sqrt{1391}}{14}$