Elementarmathematik Beispiele

$z^{4} = 81 i$

Schritt 1

Ersetze $z^{4}$ durch $u$ .

$u^{4} = 81 i$

Schritt 2

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 3

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 4

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 0$ und $b = 81$ .

$| z | = \sqrt{81^{2}}$

Schritt 5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 81$

Schritt 6

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{81}{0})$

Schritt 7

Da das Argument nicht definiert ist und $b$ positiv ist, ist der Winkel des Punktes in der komplexen Ebene $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Schritt 8

Substituiere die Werte von $θ = \frac{π}{2}$ und $| z | = 81$ .

$81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 9

Ersetze die rechte Seite der Gleichung durch die trigonometrische Form.

$u^{4} = 81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 10

Ermittle eine Gleichung für $u$ mithilfe des Satzes von De Moivre.

$r^{4} (c o s (4 θ) + i s i n (4 θ)) = 81 i = 81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 11

Setze den Betrag der trigonometrischen Form gleich $r^{4}$ , um den Wert von $r$ zu finden.

$r^{4} = 81$

Schritt 12

Löse die Gleichung nach $r$ auf.

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Schritt 12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt[4]{81}$

Schritt 12.2

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{81}$ .

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Schritt 12.2.1

Schreibe $81$ als $3^{4}$ um.

$r = \pm \sqrt[4]{3^{4}}$

Schritt 12.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = \pm 3$

Schritt 12.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 12.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$r = 3$

Schritt 12.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$r = - 3$

Schritt 12.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = 3, - 3$

Schritt 13

Finde den Näherungswert von $r$ .

$r = 3$

Schritt 14

Ermittle die möglichen Werte von $θ$ .

$c o s (4 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ und $s i n (4 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

Schritt 15

Alle möglichen Werte von $θ$ zu ermitteln führt zur Gleichung $4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

Schritt 16

Ermittele den Wert von $θ$ für $r = 0$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

Schritt 17

Löse die Gleichung nach $θ$ auf.

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Schritt 17.1

Vereinfache.

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Schritt 17.1.1

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 17.1.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

Schritt 17.1.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 0$

Schritt 17.1.2

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$4 θ = \frac{π}{2}$

Schritt 17.2

Teile jeden Ausdruck in $4 θ = \frac{π}{2}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 17.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 θ = \frac{π}{2}$ durch $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Schritt 17.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 17.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 17.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Schritt 17.2.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Schritt 17.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 17.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 17.2.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 17.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Schritt 17.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$θ = \frac{π}{8}$

Schritt 18

Benutze die Werte von $θ$ und $r$ , um eine Lösung für die Gleichung $u^{4} = 81 i$ zu ermitteln.

$u_{0} = 3 (\cos (\frac{π}{8}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 19

Wandle die Lösung in die rechtwinklige Form um.

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Schritt 19.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{8})$ ist $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 19.1.1.1

Schreibe $\frac{π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$u_{0} = 3 (\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 19.1.1.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$u_{0} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 19.1.1.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Kosinus im ersten Quadranten positiv ist.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 19.1.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 19.1.1.5

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Schritt 19.1.1.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 19.1.1.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 19.1.1.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 19.1.1.5.4

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 19.1.1.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 19.1.1.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 19.1.1.5.5

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 19.1.1.5.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 19.1.1.5.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 19.1.1.5.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Schritt 19.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{8})$ ist $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 19.1.2.1

Schreibe $\frac{π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2}))$

Schritt 19.1.2.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Schritt 19.1.2.3

Wechsele das $\pm$ zu $+$ , da der Sinus im ersten Quadranten positiv ist.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Schritt 19.1.2.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Schritt 19.1.2.4.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Schritt 19.1.2.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Schritt 19.1.2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Schritt 19.1.2.4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Schritt 19.1.2.4.5

Multipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 19.1.2.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Schritt 19.1.2.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})$

Schritt 19.1.2.4.6

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Schritt 19.1.2.4.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 19.1.2.4.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Schritt 19.1.2.4.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

Schritt 19.1.3

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Schritt 19.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 19.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Schritt 19.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{0} = \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Schritt 20

Setze $z^{4}$ für $u$ ein, um den Wert von $z$ nach der Verschiebung nach rechts zu berechnen.

$z_{0} = 0 + \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Schritt 21

Ermittele den Wert von $θ$ für $r = 1$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

Schritt 22

Löse die Gleichung nach $θ$ auf.

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Schritt 22.1

Vereinfache.

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Schritt 22.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 22.1.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 22.1.3

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Schritt 22.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

Schritt 22.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

Schritt 22.1.6

Addiere $π$ und $4 π$ .

$4 θ = \frac{5 π}{2}$

Schritt 22.2

Teile jeden Ausdruck in $4 θ = \frac{5 π}{2}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 22.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 θ = \frac{5 π}{2}$ durch $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Schritt 22.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 22.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 22.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Schritt 22.2.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Schritt 22.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 22.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 22.2.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 22.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 4}$

Schritt 22.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$θ = \frac{5 π}{8}$

Schritt 23

Benutze die Werte von $θ$ und $r$ , um eine Lösung für die Gleichung $u^{4} = 81 i$ zu ermitteln.

$u_{1} = 3 (\cos (\frac{5 π}{8}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Schritt 24

Wandle die Lösung in die rechtwinklige Form um.

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Schritt 24.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 24.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{5 π}{8})$ ist $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 24.1.1.1

Schreibe $\frac{5 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$u_{1} = 3 (\cos (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Schritt 24.1.1.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$u_{1} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Schritt 24.1.1.3

Wechsele das $\pm$ zu $-$ , da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Schritt 24.1.1.4

Vereinfache $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

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Schritt 24.1.1.4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Schritt 24.1.1.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Schritt 24.1.1.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Schritt 24.1.1.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Schritt 24.1.1.4.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Schritt 24.1.1.4.6

Multipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 24.1.1.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Schritt 24.1.1.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Schritt 24.1.1.4.7

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Schritt 24.1.1.4.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 24.1.1.4.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Schritt 24.1.1.4.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Schritt 24.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{5 π}{8})$ ist $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 24.1.2.1

Schreibe $\frac{5 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}))$

Schritt 24.1.2.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

Schritt 24.1.2.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Sinus im zweiten Quadranten positiv ist.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}})$

Schritt 24.1.2.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

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Schritt 24.1.2.4.1

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Schritt 24.1.2.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Schritt 24.1.2.4.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 24.1.2.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})$

Schritt 24.1.2.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Schritt 24.1.2.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Schritt 24.1.2.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Schritt 24.1.2.4.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Schritt 24.1.2.4.7

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 24.1.2.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Schritt 24.1.2.4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}})$

Schritt 24.1.2.4.8

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Schritt 24.1.2.4.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 24.1.2.4.9.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Schritt 24.1.2.4.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

Schritt 24.1.3

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Schritt 24.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 24.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u_{1} = 3 (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Schritt 24.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{3 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Schritt 24.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ heraus.

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Schritt 24.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ heraus.

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) - (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

Schritt 24.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) - (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ heraus.

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

Schritt 24.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 24.2.6.1

Schreibe $- (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ als $- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ um.

$u_{1} = \frac{3 (- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

Schritt 24.2.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u_{1} = - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Schritt 25

Setze $z^{4}$ für $u$ ein, um den Wert von $z$ nach der Verschiebung nach rechts zu berechnen.

$z_{1} = 0 - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Schritt 26

Ermittele den Wert von $θ$ für $r = 2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

Schritt 27

Löse die Gleichung nach $θ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 27.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 27.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

Schritt 27.1.2

Um $4 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 27.1.3

Kombiniere $4 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

Schritt 27.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

Schritt 27.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$4 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

Schritt 27.1.6

Addiere $π$ und $8 π$ .

$4 θ = \frac{9 π}{2}$

Schritt 27.2

Teile jeden Ausdruck in $4 θ = \frac{9 π}{2}$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 27.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 θ = \frac{9 π}{2}$ durch $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Schritt 27.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 27.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 27.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Schritt 27.2.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Schritt 27.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 27.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 27.2.3.2

Multipliziere $\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 27.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{9 π}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{9 π}{2 \cdot 4}$

Schritt 27.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$θ = \frac{9 π}{8}$

Schritt 28

Benutze die Werte von $θ$ und $r$ , um eine Lösung für die Gleichung $u^{4} = 81 i$ zu ermitteln.

$u_{2} = 3 (\cos (\frac{9 π}{8}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Schritt 29

Wandle die Lösung in die rechtwinklige Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 29.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 29.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{9 π}{8})$ ist $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 29.1.1.1

Schreibe $\frac{9 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$u_{2} = 3 (\cos (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Schritt 29.1.1.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$u_{2} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Schritt 29.1.1.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ , da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Schritt 29.1.1.4

Vereinfache $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 29.1.1.4.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Schritt 29.1.1.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Schritt 29.1.1.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Schritt 29.1.1.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Schritt 29.1.1.4.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Schritt 29.1.1.4.6

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 29.1.1.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Schritt 29.1.1.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Schritt 29.1.1.4.7

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Schritt 29.1.1.4.8

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 29.1.1.4.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Schritt 29.1.1.4.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Schritt 29.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{9 π}{8})$ ist $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 29.1.2.1

Schreibe $\frac{9 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}))$

Schritt 29.1.2.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

Schritt 29.1.2.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ , da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

Schritt 29.1.2.4

Vereinfache $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 29.1.2.4.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Schritt 29.1.2.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Schritt 29.1.2.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Schritt 29.1.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Schritt 29.1.2.4.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

Schritt 29.1.2.4.6

Multipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 29.1.2.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

Schritt 29.1.2.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}))$

Schritt 29.1.2.4.7

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Schritt 29.1.2.4.8

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 29.1.2.4.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Schritt 29.1.2.4.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

Schritt 29.1.3

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Schritt 29.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 29.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u_{2} = 3 (\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Schritt 29.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{2} = \frac{3 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Schritt 29.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ heraus.

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Schritt 29.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ heraus.

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - (i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

Schritt 29.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - (i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ heraus.

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

Schritt 29.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 29.2.6.1

Schreibe $- (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ als $- 1 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ um.

$u_{2} = \frac{3 (- 1 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

Schritt 29.2.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u_{2} = - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Schritt 30

Setze $z^{4}$ für $u$ ein, um den Wert von $z$ nach der Verschiebung nach rechts zu berechnen.

$z_{2} = 0 - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Schritt 31

Ermittele den Wert von $θ$ für $r = 3$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (3)$

Schritt 32

Löse die Gleichung nach $θ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 32.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 32.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π$

Schritt 32.1.2

Um $6 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 32.1.3

Kombiniere $6 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{6 π \cdot 2}{2}$

Schritt 32.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 θ = \frac{π + 6 π \cdot 2}{2}$

Schritt 32.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$4 θ = \frac{π + 12 π}{2}$

Schritt 32.1.6

Addiere $π$ und $12 π$ .

$4 θ = \frac{13 π}{2}$

Schritt 32.2

Teile jeden Ausdruck in $4 θ = \frac{13 π}{2}$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 32.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 θ = \frac{13 π}{2}$ durch $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Schritt 32.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 32.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 32.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Schritt 32.2.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Schritt 32.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 32.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 32.2.3.2

Multipliziere $\frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 32.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{13 π}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{13 π}{2 \cdot 4}$

Schritt 32.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$θ = \frac{13 π}{8}$

Schritt 33

Benutze die Werte von $θ$ und $r$ , um eine Lösung für die Gleichung $u^{4} = 81 i$ zu ermitteln.

$u_{3} = 3 (\cos (\frac{13 π}{8}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Schritt 34

Wandle die Lösung in die rechtwinklige Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 34.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 34.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{13 π}{8})$ ist $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 34.1.1.1

Schreibe $\frac{13 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$u_{3} = 3 (\cos (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Schritt 34.1.1.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$u_{3} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Schritt 34.1.1.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Kosinus im vierten Quadranten positiv ist.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Schritt 34.1.1.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 34.1.1.4.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Schritt 34.1.1.4.2

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Schritt 34.1.1.4.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Schritt 34.1.1.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Schritt 34.1.1.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Schritt 34.1.1.4.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Schritt 34.1.1.4.7

Multipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 34.1.1.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Schritt 34.1.1.4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Schritt 34.1.1.4.8

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Schritt 34.1.1.4.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 34.1.1.4.9.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Schritt 34.1.1.4.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Schritt 34.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{13 π}{8})$ ist $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 34.1.2.1

Schreibe $\frac{13 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}))$

Schritt 34.1.2.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

Schritt 34.1.2.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ , da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

Schritt 34.1.2.4

Vereinfache $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 34.1.2.4.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

Schritt 34.1.2.4.2

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Schritt 34.1.2.4.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Schritt 34.1.2.4.4

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 34.1.2.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}}))$

Schritt 34.1.2.4.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Schritt 34.1.2.4.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Schritt 34.1.2.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Schritt 34.1.2.4.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

Schritt 34.1.2.4.8

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 34.1.2.4.8.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

Schritt 34.1.2.4.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}))$

Schritt 34.1.2.4.9

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Schritt 34.1.2.4.10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 34.1.2.4.10.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Schritt 34.1.2.4.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

Schritt 34.1.3

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Schritt 34.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 34.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Schritt 34.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{3} = \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Schritt 35

Setze $z^{4}$ für $u$ ein, um den Wert von $z$ nach der Verschiebung nach rechts zu berechnen.

$z_{3} = 0 + \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Schritt 36

Dies sind die komplexen Lösungen für $u^{4} = 81 i$ .

$z_{0} = \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

$z_{1} = - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

$z_{2} = - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

$z_{3} = \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$