Elementarmathematik Beispiele

$\cos (θ) = - \frac{8}{9}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Kosinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Gegenkathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Ankathete und die Hypotenuse bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Gegenüberliegend = \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Gegenüberliegend = \sqrt{{(9)}^{2} - {(- 8)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

Gegenkathete $= \sqrt{81 - {(- 8)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

Gegenkathete $= \sqrt{81 - 1 \cdot 64}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

Gegenkathete $= \sqrt{81 - 64}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $64$ von $81$ .

Gegenkathete $= \sqrt{17}$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\sin (θ)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{17}}{9}$

Schritt 6

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 6.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (θ)$ zu ermitteln.

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{17}}{- 8}$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{17}}{8}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{- 8}{\sqrt{17}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Wert von $\cot (θ)$ .

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Schritt 7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cot (θ) = - \frac{8}{\sqrt{17}}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $\frac{8}{\sqrt{17}}$ mit $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\cot (θ) = - (\frac{8}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}})$

Schritt 7.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{8}{\sqrt{17}}$ mit $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{8 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}}$

Schritt 7.3.3.2

Potenziere $\sqrt{17}$ mit $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{8 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}}$

Schritt 7.3.3.3

Potenziere $\sqrt{17}$ mit $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{8 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}}$

Schritt 7.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cot (θ) = - \frac{8 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{8 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}}$

Schritt 7.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{17}}^{2}$ als $17$ um.

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Schritt 7.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{17}$ als $17^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cot (θ) = - \frac{8 \sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = - \frac{8 \sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cot (θ) = - \frac{8 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (θ) = - \frac{8 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (θ) = - \frac{8 \sqrt{17}}{17}$

Schritt 7.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cot (θ) = - \frac{8 \sqrt{17}}{17}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{9}{- 8}$

Schritt 8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec (θ) = - \frac{9}{8}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{9}{\sqrt{17}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von $\csc (θ)$ .

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $\frac{9}{\sqrt{17}}$ mit $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\csc (θ) = \frac{9}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$

Schritt 9.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{9}{\sqrt{17}}$ mit $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}}$

Schritt 9.3.2.2

Potenziere $\sqrt{17}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}}$

Schritt 9.3.2.3

Potenziere $\sqrt{17}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}}$

Schritt 9.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}}$

Schritt 9.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{17}}^{2}$ als $17$ um.

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Schritt 9.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{17}$ als $17^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{17}}{17}$

Schritt 9.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{17}}{17}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{17}}{9}$

$\cos (θ) = - \frac{8}{9}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{17}}{8}$

$\cot (θ) = - \frac{8 \sqrt{17}}{17}$

$\sec (θ) = - \frac{9}{8}$

$\csc (θ) = \frac{9 \sqrt{17}}{17}$