Elementarmathematik Beispiele

$x + y = 36$ , $x^{2} + y^{2} = 72$

Schritt 1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 36 - y$

$x^{2} + y^{2} = 72$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $36 - y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} + y^{2} = 72$ durch $36 - y$ .

${(36 - y)}^{2} + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(36 - y)}^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe ${(36 - y)}^{2}$ als $(36 - y) (36 - y)$ um.

$(36 - y) (36 - y) + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $(36 - y) (36 - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$36 (36 - y) - y (36 - y) + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$36 \cdot 36 + 36 (- y) - y (36 - y) + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$36 \cdot 36 + 36 (- y) - y \cdot 36 - y (- y) + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

$36 \cdot 36 + 36 (- y) - y \cdot 36 - y (- y) + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $36$ mit $36$ .

$1296 + 36 (- y) - y \cdot 36 - y (- y) + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$1296 - 36 y - y \cdot 36 - y (- y) + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $36$ mit $- 1$ .

$1296 - 36 y - 36 y - y (- y) + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1296 - 36 y - 36 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y) + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.5.1

Bewege $y$ .

$1296 - 36 y - 36 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$1296 - 36 y - 36 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

$1296 - 36 y - 36 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1296 - 36 y - 36 y + 1 y^{2} + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$1296 - 36 y - 36 y + y^{2} + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

$1296 - 36 y - 36 y + y^{2} + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Subtrahiere $36 y$ von $- 36 y$ .

$1296 - 72 y + y^{2} + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

$1296 - 72 y + y^{2} + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

$1296 - 72 y + y^{2} + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $y^{2}$ und $y^{2}$ .

$1296 - 72 y + 2 y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

$1296 - 72 y + 2 y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

$1296 - 72 y + 2 y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

$1296 - 72 y + 2 y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Schritt 3

Löse in $1296 - 72 y + 2 y^{2} = 72$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $72$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1296 - 72 y + 2 y^{2} - 72 = 0$

$x = 36 - y$

Schritt 3.2

Subtrahiere $72$ von $1296$ .

$- 72 y + 2 y^{2} + 1224 = 0$

$x = 36 - y$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 72 y + 2 y^{2} + 1224$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 72 y$ heraus.

$2 (- 36 y) + 2 y^{2} + 1224 = 0$

$x = 36 - y$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 y^{2}$ heraus.

$2 (- 36 y) + 2 (y^{2}) + 1224 = 0$

$x = 36 - y$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $1224$ heraus.

$2 (- 36 y) + 2 y^{2} + 2 \cdot 612 = 0$

$x = 36 - y$

Schritt 3.3.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 36 y) + 2 y^{2}$ heraus.

$2 (- 36 y + y^{2}) + 2 \cdot 612 = 0$

$x = 36 - y$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 36 y + y^{2}) + 2 \cdot 612$ heraus.

$2 (- 36 y + y^{2} + 612) = 0$

$x = 36 - y$

$2 (- 36 y + y^{2} + 612) = 0$

$x = 36 - y$

Schritt 3.3.2

Stelle die Terme um.

$2 (y^{2} - 36 y + 612) = 0$

$x = 36 - y$

$2 (y^{2} - 36 y + 612) = 0$

$x = 36 - y$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $2 (y^{2} - 36 y + 612) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (y^{2} - 36 y + 612) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (y^{2} - 36 y + 612)}{2} = \frac{0}{2}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (y^{2} - 36 y + 612)}{2} = \frac{0}{2}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $y^{2} - 36 y + 612$ durch $1$ .

$y^{2} - 36 y + 612 = \frac{0}{2}$

$x = 36 - y$

$y^{2} - 36 y + 612 = \frac{0}{2}$

$x = 36 - y$

$y^{2} - 36 y + 612 = \frac{0}{2}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$y^{2} - 36 y + 612 = 0$

$x = 36 - y$

$y^{2} - 36 y + 612 = 0$

$x = 36 - y$

$y^{2} - 36 y + 612 = 0$

$x = 36 - y$

Schritt 3.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 36$ und $c = 612$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 612)}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1.1

Potenziere $- 36$ mit $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 1 \cdot 612}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 612$ .

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Schritt 3.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 612}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $612$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 2448}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 2448}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.7.1.3

Subtrahiere $2448$ von $1296$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 1152}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.7.1.4

Schreibe $- 1152$ als $- 1 (1152)$ um.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1152}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (1152)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1152}$ um.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1152}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{1152}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.7.1.7

Schreibe $1152$ als $24^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.7.1.7.1

Faktorisiere $576$ aus $1152$ heraus.

$y = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{576 (2)}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.7.1.7.2

Schreibe $576$ als $24^{2}$ um.

$y = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{24^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

$y = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{24^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{36 \pm i \cdot (24 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.7.1.9

Bringe $24$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{36 \pm 24 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

$y = \frac{36 \pm 24 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{36 \pm 24 i \sqrt{2}}{2}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.7.3

Vereinfache $\frac{36 \pm 24 i \sqrt{2}}{2}$ .

$y = 18 \pm 12 i \sqrt{2}$

$x = 36 - y$

$y = 18 \pm 12 i \sqrt{2}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1.1

Potenziere $- 36$ mit $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 1 \cdot 612}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 612$ .

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Schritt 3.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 612}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $612$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 2448}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 2448}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.8.1.3

Subtrahiere $2448$ von $1296$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 1152}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.8.1.4

Schreibe $- 1152$ als $- 1 (1152)$ um.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1152}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.8.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (1152)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1152}$ um.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1152}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.8.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{1152}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.8.1.7

Schreibe $1152$ als $24^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.8.1.7.1

Faktorisiere $576$ aus $1152$ heraus.

$y = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{576 (2)}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.8.1.7.2

Schreibe $576$ als $24^{2}$ um.

$y = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{24^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

$y = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{24^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.8.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{36 \pm i \cdot (24 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.8.1.9

Bringe $24$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{36 \pm 24 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

$y = \frac{36 \pm 24 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{36 \pm 24 i \sqrt{2}}{2}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.8.3

Vereinfache $\frac{36 \pm 24 i \sqrt{2}}{2}$ .

$y = 18 \pm 12 i \sqrt{2}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.8.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}$

$x = 36 - y$

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.9.1.1

Potenziere $- 36$ mit $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 1 \cdot 612}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 612$ .

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Schritt 3.9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 612}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.9.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $612$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 2448}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 2448}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.9.1.3

Subtrahiere $2448$ von $1296$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 1152}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.9.1.4

Schreibe $- 1152$ als $- 1 (1152)$ um.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1152}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.9.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (1152)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1152}$ um.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1152}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.9.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{1152}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.9.1.7

Schreibe $1152$ als $24^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.9.1.7.1

Faktorisiere $576$ aus $1152$ heraus.

$y = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{576 (2)}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.9.1.7.2

Schreibe $576$ als $24^{2}$ um.

$y = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{24^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

$y = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{24^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.9.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{36 \pm i \cdot (24 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.9.1.9

Bringe $24$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{36 \pm 24 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

$y = \frac{36 \pm 24 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{36 \pm 24 i \sqrt{2}}{2}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.9.3

Vereinfache $\frac{36 \pm 24 i \sqrt{2}}{2}$ .

$y = 18 \pm 12 i \sqrt{2}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.9.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 18 - 12 i \sqrt{2}$

$x = 36 - y$

$y = 18 - 12 i \sqrt{2}$

$x = 36 - y$

Schritt 3.10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}, 18 - 12 i \sqrt{2}$

$x = 36 - y$

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}, 18 - 12 i \sqrt{2}$

$x = 36 - y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $18 + 12 i \sqrt{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 36 - y$ durch $18 + 12 i \sqrt{2}$ .

$x = 36 - (18 + 12 i \sqrt{2})$

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $36 - (18 + 12 i \sqrt{2})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 36 - 1 \cdot 18 - (12 i \sqrt{2})$

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$x = 36 - 18 - (12 i \sqrt{2})$

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$x = 36 - 18 - 12 i \sqrt{2}$

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}$

$x = 36 - 18 - 12 i \sqrt{2}$

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $18$ von $36$ .

$x = 18 - 12 i \sqrt{2}$

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}$

$x = 18 - 12 i \sqrt{2}$

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}$

$x = 18 - 12 i \sqrt{2}$

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}$

$x = 18 - 12 i \sqrt{2}$

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $18 - 12 i \sqrt{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = 36 - y$ durch $18 - 12 i \sqrt{2}$ .

$x = 36 - (18 - 12 i \sqrt{2})$

$y = 18 - 12 i \sqrt{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $36 - (18 - 12 i \sqrt{2})$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 36 - 1 \cdot 18 - (- 12 i \sqrt{2})$

$y = 18 - 12 i \sqrt{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$x = 36 - 18 - (- 12 i \sqrt{2})$

$y = 18 - 12 i \sqrt{2}$

Schritt 5.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$x = 36 - 18 + 12 i \sqrt{2}$

$y = 18 - 12 i \sqrt{2}$

$x = 36 - 18 + 12 i \sqrt{2}$

$y = 18 - 12 i \sqrt{2}$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $18$ von $36$ .

$x = 18 + 12 i \sqrt{2}$

$y = 18 - 12 i \sqrt{2}$

$x = 18 + 12 i \sqrt{2}$

$y = 18 - 12 i \sqrt{2}$

$x = 18 + 12 i \sqrt{2}$

$y = 18 - 12 i \sqrt{2}$

$x = 18 + 12 i \sqrt{2}$

$y = 18 - 12 i \sqrt{2}$

Schritt 6

Liste alle Lösungen auf.

$x = 18 - 12 i \sqrt{2}, y = 18 + 12 i \sqrt{2}$

$x = 18 + 12 i \sqrt{2}, y = 18 - 12 i \sqrt{2}$

Schritt 7