Elementarmathematik Beispiele

$2 y^{2} + x y = 5$ , $4 y + x = 7$

Schritt 1

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7 - 4 y$

$2 y^{2} + x y = 5$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $7 - 4 y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $2 y^{2} + x y = 5$ durch $7 - 4 y$ .

$2 y^{2} + (7 - 4 y) \cdot y = 5$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $2 y^{2} + (7 - 4 y) \cdot y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y^{2} + 7 y - 4 y \cdot y = 5$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Bewege $y$ .

$2 y^{2} + 7 y - 4 (y \cdot y) = 5$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$2 y^{2} + 7 y - 4 y^{2} = 5$

$x = 7 - 4 y$

$2 y^{2} + 7 y - 4 y^{2} = 5$

$x = 7 - 4 y$

$2 y^{2} + 7 y - 4 y^{2} = 5$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 2.2.1.2

Subtrahiere $4 y^{2}$ von $2 y^{2}$ .

$- 2 y^{2} + 7 y = 5$

$x = 7 - 4 y$

$- 2 y^{2} + 7 y = 5$

$x = 7 - 4 y$

$- 2 y^{2} + 7 y = 5$

$x = 7 - 4 y$

$- 2 y^{2} + 7 y = 5$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 3

Löse in $- 2 y^{2} + 7 y = 5$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y^{2} + 7 y - 5 = 0$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y^{2} + 7 y - 5$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y^{2}$ heraus.

$- (2 y^{2}) + 7 y - 5 = 0$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $7 y$ heraus.

$- (2 y^{2}) - (- 7 y) - 5 = 0$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 3.2.1.3

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$- (2 y^{2}) - (- 7 y) - 1 \cdot 5 = 0$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 y^{2}) - (- 7 y)$ heraus.

$- (2 y^{2} - 7 y) - 1 \cdot 5 = 0$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 y^{2} - 7 y) - 1 (5)$ heraus.

$- (2 y^{2} - 7 y + 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

$- (2 y^{2} - 7 y + 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 5 = 10$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 y$ heraus.

$- (2 y^{2} - 7 y + 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Schreibe $- 7$ um als $- 2$ plus $- 5$

$- (2 y^{2} + (- 2 - 5) y + 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (2 y^{2} - 2 y - 5 y + 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

$- (2 y^{2} - 2 y - 5 y + 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 3.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((2 y^{2} - 2 y) - 5 y + 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (2 y (y - 1) - 5 (y - 1)) = 0$

$x = 7 - 4 y$

$- (2 y (y - 1) - 5 (y - 1)) = 0$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 3.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $y - 1$ .

$- ((y - 1) (2 y - 5)) = 0$

$x = 7 - 4 y$

$- ((y - 1) (2 y - 5)) = 0$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 3.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (y - 1) (2 y - 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

$- (y - 1) (2 y - 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

$- (y - 1) (2 y - 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 1 = 0$

$2 y - 5 = 0$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 3.4

Setze $y - 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $y - 1$ gleich $0$ .

$y - 1 = 0$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 3.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 1$

$x = 7 - 4 y$

$y = 1$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 3.5

Setze $2 y - 5$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $2 y - 5$ gleich $0$ .

$2 y - 5 = 0$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 3.5.2

Löse $2 y - 5 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = 5$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 5$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (y - 1) (2 y - 5) = 0$ wahr machen.

$y = 1, \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

$y = 1, \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 7 - 4 y$ durch $1$ .

$x = 7 - 4 \cdot 1$

$y = 1$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $7 - 4 \cdot 1$ .

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = 7 - 4$

$y = 1$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $7$ .

$x = 3$

$y = 1$

$x = 3$

$y = 1$

$x = 3$

$y = 1$

$x = 3$

$y = 1$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{5}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = 7 - 4 y$ durch $\frac{5}{2}$ .

$x = 7 - 4 (\frac{5}{2})$

$y = \frac{5}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $7 - 4 (\frac{5}{2})$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$x = 7 + 2 (- 2) (\frac{5}{2})$

$y = \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 7 + 2 \cdot (- 2 (\frac{5}{2}))$

$y = \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.1.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 7 - 2 \cdot 5$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 2 \cdot 5$

$y = \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$x = 7 - 10$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 10$

$y = \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $10$ von $7$ .

$x = - 3$

$y = \frac{5}{2}$

$x = - 3$

$y = \frac{5}{2}$

$x = - 3$

$y = \frac{5}{2}$

$x = - 3$

$y = \frac{5}{2}$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(3, 1)$

$(- 3, \frac{5}{2})$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(3, 1), (- 3, \frac{5}{2})$

Gleichungsform:

$x = 3, y = 1$

$x = - 3, y = \frac{5}{2}$

Schritt 8