Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} - 8 x^{2} + 24 x - 32$

Schritt 1

Setze $x^{3} - 8 x^{2} + 24 x - 32$ gleich $0$ .

$x^{3} - 8 x^{2} + 24 x - 32 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{3} - 8 x^{2} + 24 x - 32$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

Schritt 2.1.3

Setze $4$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $4$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.3.1

Setze $4$ in das Polynom ein.

$4^{3} - 8 \cdot 4^{2} + 24 \cdot 4 - 32$

Schritt 2.1.3.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$64 - 8 \cdot 4^{2} + 24 \cdot 4 - 32$

Schritt 2.1.3.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$64 - 8 \cdot 16 + 24 \cdot 4 - 32$

Schritt 2.1.3.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $16$ .

$64 - 128 + 24 \cdot 4 - 32$

Schritt 2.1.3.5

Subtrahiere $128$ von $64$ .

$- 64 + 24 \cdot 4 - 32$

Schritt 2.1.3.6

Mutltipliziere $24$ mit $4$ .

$- 64 + 96 - 32$

Schritt 2.1.3.7

Addiere $- 64$ und $96$ .

$32 - 32$

Schritt 2.1.3.8

Subtrahiere $32$ von $32$ .

$0$

Schritt 2.1.4

Da $4$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 4$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 8 x^{2} + 24 x - 32}{x - 4}$

Schritt 2.1.5

Dividiere $x^{3} - 8 x^{2} + 24 x - 32$ durch $x - 4$ .

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Schritt 2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$32$

Schritt 2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$24 x$	-	$32$

Schritt 2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$24 x$	-	$32$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Schritt 2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 4 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$24 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Schritt 2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$24 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Schritt 2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$24 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$24 x$

Schritt 2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$24 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$24 x$

Schritt 2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$24 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$

Schritt 2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x^{2} + 16 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$24 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$

Schritt 2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$24 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$8 x$

Schritt 2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$24 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$8 x$	-	$32$

Schritt 2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $8 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$24 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$8 x$	-	$32$

Schritt 2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$24 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$8 x$	-	$32$
							+	$8 x$	-	$32$

Schritt 2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $8 x - 32$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$24 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$8 x$	-	$32$
							-	$8 x$	+	$32$

Schritt 2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$24 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$8 x$	-	$32$
							-	$8 x$	+	$32$
										$0$

Schritt 2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 4 x + 8$

Schritt 2.1.6

Schreibe $x^{3} - 8 x^{2} + 24 x - 32$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 4) (x^{2} - 4 x + 8) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 8 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.4

Setze $x^{2} - 4 x + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2} - 4 x + 8$ gleich $0$ .

$x^{2} - 4 x + 8 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} - 4 x + 8 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.3.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

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Schritt 2.4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.3

Subtrahiere $32$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2}$

Schritt 2.4.2.3.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i$

Schritt 2.4.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2 + 2 i, 2 - 2 i$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x^{2} - 4 x + 8) = 0$ wahr machen.

$x = 4, 2 + 2 i, 2 - 2 i$

Schritt 3