Elementarmathematik Beispiele

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 24 x + 12 y - 15 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$3 x^{2} + 3 {(0)}^{2} - 24 x + 12 (0) - 15 = 0$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $3 x^{2} + 3 {(0)}^{2} - 24 x + 12 (0) - 15$ .

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 x^{2} + 3 \cdot 0 - 24 x + 12 (0) - 15 = 0$

Schritt 1.2.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$3 x^{2} + 0 - 24 x + 12 (0) - 15 = 0$

Schritt 1.2.1.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$3 x^{2} + 0 - 24 x + 0 - 15 = 0$

Schritt 1.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x^{2} + 0 - 24 x + 0 - 15$ .

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Schritt 1.2.1.2.1

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2} - 24 x + 0 - 15 = 0$

Schritt 1.2.1.2.2

Addiere $3 x^{2} - 24 x$ und $0$ .

$3 x^{2} - 24 x - 15 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 24 x - 15$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 (x^{2}) - 24 x - 15 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 24 x$ heraus.

$3 (x^{2}) + 3 (- 8 x) - 15 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $3$ aus $- 15$ heraus.

$3 x^{2} + 3 (- 8 x) + 3 \cdot - 5 = 0$

Schritt 1.2.2.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 (- 8 x)$ heraus.

$3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot - 5 = 0$

Schritt 1.2.2.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot - 5$ heraus.

$3 (x^{2} - 8 x - 5) = 0$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 (x^{2} - 8 x - 5) = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (x^{2} - 8 x - 5) = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 8 x - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x^{2} - 8 x - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 8 x - 5$ durch $1$ .

$x^{2} - 8 x - 5 = \frac{0}{3}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x^{2} - 8 x - 5 = 0$

Schritt 1.2.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 8$ und $c = - 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.3

Addiere $64$ und $20$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.4

Schreibe $84$ als $2^{2} \cdot 21$ um.

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Schritt 1.2.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $84$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{21}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Schritt 1.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.3

Addiere $64$ und $20$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.4

Schreibe $84$ als $2^{2} \cdot 21$ um.

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Schritt 1.2.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $84$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Schritt 1.2.7.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{21}$

Schritt 1.2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 4 + \sqrt{21}$

Schritt 1.2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.8.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Schritt 1.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.3

Addiere $64$ und $20$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.4

Schreibe $84$ als $2^{2} \cdot 21$ um.

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Schritt 1.2.8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $84$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Schritt 1.2.8.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{21}$

Schritt 1.2.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 4 - \sqrt{21}$

Schritt 1.2.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 4 + \sqrt{21}, 4 - \sqrt{21}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(4 + \sqrt{21}, 0), (4 - \sqrt{21}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$3 {(0)}^{2} + 3 y^{2} - 24 \cdot 0 + 12 y - 15 = 0$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $3 {(0)}^{2} + 3 y^{2} - 24 \cdot 0 + 12 y - 15$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 \cdot 0 + 3 y^{2} - 24 \cdot 0 + 12 y - 15 = 0$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$0 + 3 y^{2} - 24 \cdot 0 + 12 y - 15 = 0$

Schritt 2.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $0$ .

$0 + 3 y^{2} + 0 + 12 y - 15 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 3 y^{2} + 0 + 12 y - 15$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Addiere $0$ und $3 y^{2}$ .

$3 y^{2} + 0 + 12 y - 15 = 0$

Schritt 2.2.1.2.2

Addiere $3 y^{2}$ und $0$ .

$3 y^{2} + 12 y - 15 = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{2} + 12 y - 15$ heraus.

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Schritt 2.2.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{2}$ heraus.

$3 (y^{2}) + 12 y - 15 = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $12 y$ heraus.

$3 (y^{2}) + 3 (4 y) - 15 = 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 15$ heraus.

$3 y^{2} + 3 (4 y) + 3 \cdot - 5 = 0$

Schritt 2.2.2.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{2} + 3 (4 y)$ heraus.

$3 (y^{2} + 4 y) + 3 \cdot - 5 = 0$

Schritt 2.2.2.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (y^{2} + 4 y) + 3 \cdot - 5$ heraus.

$3 (y^{2} + 4 y - 5) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.2.1

Faktorisiere $y^{2} + 4 y - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $4$ ist.

$- 1, 5$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$3 ((y - 1) (y + 5)) = 0$

Schritt 2.2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (y - 1) (y + 5) = 0$

Schritt 2.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 1 = 0$

$y + 5 = 0$

Schritt 2.2.4

Setze $y - 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.4.1

Setze $y - 1$ gleich $0$ .

$y - 1 = 0$

Schritt 2.2.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 1$

Schritt 2.2.5

Setze $y + 5$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.5.1

Setze $y + 5$ gleich $0$ .

$y + 5 = 0$

Schritt 2.2.5.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 5$

Schritt 2.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (y - 1) (y + 5) = 0$ wahr machen.

$y = 1, - 5$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 1), (0, - 5)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(4 + \sqrt{21}, 0), (4 - \sqrt{21}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 1), (0, - 5)$

Schritt 4