Elementarmathematik Beispiele

${(x - e)}^{2} = 4 e (y - e)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe die Gleichung als $4 e (y - e) = {(x - e)}^{2}$ um.

$4 e (y - e) = {(x - e)}^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 e (y - e) = {(x - e)}^{2}$ durch $4 e$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 e (y - e) = {(x - e)}^{2}$ durch $4 e$ .

$\frac{4 e (y - e)}{4 e} = \frac{{(x - e)}^{2}}{4 e}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 e (y - e)}{4 e} = \frac{{(x - e)}^{2}}{4 e}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e (y - e)}{e} = \frac{{(x - e)}^{2}}{4 e}$

Schritt 1.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e$ .

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e (y - e)}{e} = \frac{{(x - e)}^{2}}{4 e}$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Dividiere $y - e$ durch $1$ .

$y - e = \frac{{(x - e)}^{2}}{4 e}$

Schritt 1.1.3

Addiere $e$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{{(x - e)}^{2}}{4 e} + e$

Schritt 1.1.4

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{4 e} \cdot {(x - e)}^{2} + e$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{1}{4 e} \cdot {(x - e)}^{2} + e$ an.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(x - e)}^{2}$ als $(x - e) (x - e)$ um.

$\frac{1}{4 e} \cdot ((x - e) (x - e)) + e$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(x - e) (x - e)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4 e} \cdot (x (x - e) - e (x - e)) + e$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4 e} \cdot (x \cdot x + x (- e) - e (x - e)) + e$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4 e} \cdot (x \cdot x + x (- e) - e x - e (- e)) + e$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} + x (- e) - e x - e (- e)) + e$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Multipliziere $- e (- e)$ .

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Schritt 1.2.1.1.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} + x (- e) - e x + 1 e e) + e$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} + x (- e) - e x + e e) + e$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2.3

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} + x (- e) - e x + e^{1} e) + e$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2.4

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} + x (- e) - e x + e^{1} e^{1}) + e$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} + x (- e) - e x + e^{1 + 1}) + e$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} + x (- e) - e x + e^{2}) + e$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Bewege $e$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} - 1 \cdot x e - 1 x e + e^{2}) + e$

Schritt 1.2.1.1.3.3

Subtrahiere $x e$ von $- 1 \cdot x e$ .

$\frac{1}{4 e} \cdot (x^{2} - 2 x e + e^{2}) + e$

Schritt 1.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4 e} x^{2} + \frac{1}{4 e} (- 2 x e) + \frac{1}{4 e} e^{2} + e$

Schritt 1.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1.5.1

Kombiniere $\frac{1}{4 e}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} + \frac{1}{4 e} (- 2 x e) + \frac{1}{4 e} e^{2} + e$

Schritt 1.2.1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 e$ .

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Schritt 1.2.1.1.5.2.1

Faktorisiere $2 e$ aus $4 e$ heraus.

$\frac{x^{2}}{4 e} + \frac{1}{2 e (2)} (- 2 x e) + \frac{1}{4 e} e^{2} + e$

Schritt 1.2.1.1.5.2.2

Faktorisiere $2 e$ aus $- 2 x e$ heraus.

$\frac{x^{2}}{4 e} + \frac{1}{2 e (2)} (2 e (- x)) + \frac{1}{4 e} e^{2} + e$

Schritt 1.2.1.1.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{4 e} + \frac{1}{2 e \cdot 2} (2 e (- x)) + \frac{1}{4 e} e^{2} + e$

Schritt 1.2.1.1.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{4 e} + \frac{1}{2} (- x) + \frac{1}{4 e} e^{2} + e$

Schritt 1.2.1.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4 e} e^{2} + e$

Schritt 1.2.1.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e$ .

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Schritt 1.2.1.1.5.4.1

Faktorisiere $e$ aus $4 e$ heraus.

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{1}{e \cdot 4} e^{2} + e$

Schritt 1.2.1.1.5.4.2

Faktorisiere $e$ aus $e^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{1}{e \cdot 4} (e e) + e$

Schritt 1.2.1.1.5.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{1}{e \cdot 4} (e e) + e$

Schritt 1.2.1.1.5.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4} e + e$

Schritt 1.2.1.1.5.5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{e}{4} + e$

Schritt 1.2.1.2

Um $e$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{e}{4} + e \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 1.2.1.3

Kombiniere $e$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{e}{4} + \frac{e \cdot 4}{4}$

Schritt 1.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{e + e \cdot 4}{4}$

Schritt 1.2.1.5

Addiere $e$ und $e \cdot 4$ .

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Schritt 1.2.1.5.1

Stelle $e$ und $4$ um.

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{e + 4 \cdot e}{4}$

Schritt 1.2.1.5.2

Addiere $e$ und $4 \cdot e$ .

$\frac{x^{2}}{4 e} - \frac{x}{2} + \frac{5 e}{4}$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{4 e}$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = \frac{5 e}{4}$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 \frac{1}{4 e}}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \frac{1}{4 e}}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4 e}$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4 e}}$

Schritt 1.2.4.2.3

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2}{4 e}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4 e}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4 e$ heraus.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{2 (2 e)}}$

Schritt 1.2.4.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 (2 e)}}$

Schritt 1.2.4.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 e}}$

Schritt 1.2.4.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{1}{2} (1 (2 e))$

Schritt 1.2.4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$d = \frac{- 1}{2} (1 (2 e))$

Schritt 1.2.4.2.5.2

Faktorisiere $2$ aus $1 (2 e)$ heraus.

$d = \frac{- 1}{2} (2 (1 (e)))$

Schritt 1.2.4.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1}{2} (2 (1 (e)))$

Schritt 1.2.4.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$d = - (1 (e))$

Schritt 1.2.4.2.6

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$d = - e$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 \frac{1}{4 e}}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \frac{1}{4 e}}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \frac{1}{4 e}}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 \frac{1}{4 e}}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 \frac{1}{4 e}}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 \frac{1}{4 e}}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{4 \frac{1}{4 e}}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4 e}$ .

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{4 e}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck $\frac{4}{4 e}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{4 e}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{e}}$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = \frac{5 e}{4} - (\frac{1}{4} e)$

Schritt 1.2.5.2.1.5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e$ .

$e = \frac{5 e}{4} - \frac{e}{4}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{5 e - e}{4}$

Schritt 1.2.5.2.3

Subtrahiere $e$ von $5 e$ .

$e = \frac{4 e}{4}$

Schritt 1.2.5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{4 e}{4}$

Schritt 1.2.5.2.4.2

Dividiere $e$ durch $1$ .

$e = e$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{4 e} {(x - e)}^{2} + e$ ein.

$\frac{1}{4 e} {(x - e)}^{2} + e$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{1}{4 e} \cdot {(x - e)}^{2} + e$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{4 e}$

$h = e$

$k = e$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(e, e)$

Schritt 4