Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} + 5 x - 3$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 2 x^{2} + 5 x - 3$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$ um.

$2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$2 x^{2} + 5 (x) - 3 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Schreibe $5$ um als $- 1$ plus $6$

$2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3 = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x + 3) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 1.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 1) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, - 3$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{1}{2}, 0), (- 3, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 3$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 \cdot 0^{2} + 5 (0) - 3$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 3$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 3$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 2 \cdot 0 + 5 (0) - 3$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = 0 + 5 (0) - 3$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 3$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 3$

Schritt 2.2.3.2.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$y = - 3$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 3)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{1}{2}, 0), (- 3, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 3)$

Schritt 4