Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 21 x^{2} - 4 x + 20$

Schritt 1

Setze $x^{4} - 4 x^{3} + 21 x^{2} - 4 x + 20$ gleich $0$ .

$x^{4} - 4 x^{3} + 21 x^{2} - 4 x + 20 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$- 4 x^{3} - 4 x + x^{4} + 21 x^{2} + 20 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x^{3} - 4 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x + x^{4} + 21 x^{2} + 20 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x$ heraus.

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot 1 + x^{4} + 21 x^{2} + 20 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x (x^{2}) - 4 x (1)$ heraus.

$- 4 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 21 x^{2} + 20 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 4 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 21 x^{2} + 20 = 0$

Schritt 2.1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 21 u + 20 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $u^{2} + 21 u + 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $20$ und deren Summe $21$ ist.

$1, 20$

Schritt 2.1.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 4 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 20) = 0$

Schritt 2.1.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 20) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $- 4 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 20)$ heraus.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $- 4 x (x^{2} + 1)$ heraus.

$(x^{2} + 1) (- 4 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 20) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $(x^{2} + 1) (- 4 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 20)$ heraus.

$(x^{2} + 1) (- 4 x + x^{2} + 20) = 0$

Schritt 2.1.8

Stelle die Terme um.

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 4 x + 20) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$x^{2} - 4 x + 20 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 2.3.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 2.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 2.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 2.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 2.4

Setze $x^{2} - 4 x + 20$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2} - 4 x + 20$ gleich $0$ .

$x^{2} - 4 x + 20 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} - 4 x + 20 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = 20$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 20)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.3.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Schritt 2.4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.3

Subtrahiere $80$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.4

Schreibe $- 64$ als $- 1 (64)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (64)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.7

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.9

Bringe $8$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2}$

Schritt 2.4.2.3.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 4 i$

Schritt 2.4.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2 + 4 i, 2 - 4 i$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 1) (x^{2} - 4 x + 20) = 0$ wahr machen.

$x = i, - i, 2 + 4 i, 2 - 4 i$

Schritt 3