Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 16 x + 32$

Schritt 1

Setze $x^{3} - 2 x^{2} - 16 x + 32$ gleich $0$ .

$x^{3} - 2 x^{2} - 16 x + 32 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{3} - 2 x^{2}) - 16 x + 32 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x - 2) - 16 (x - 2) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 2$ .

$(x - 2) (x^{2} - 16) = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$(x - 2) (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$(x - 2) ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Schritt 2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 2) (x + 4) (x - 4) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.4

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 2.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x + 4) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 4, 4$

Schritt 3