Elementarmathematik Beispiele

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - \frac{5}{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{5}{2}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{5}{2}$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 3$

$c = - \frac{5}{2}$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{3}{2 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = \frac{3}{- 2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{3}{\frac{- 2}{2}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$d = \frac{3}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.3

Dividiere $3$ durch $- 1$ .

$d = - 3$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{5}{2} - \frac{3^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = - \frac{5}{2} - \frac{9}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - \frac{5}{2} - \frac{9}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{5}{2} - \frac{9}{\frac{- 4}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$e = - \frac{5}{2} - \frac{9}{- 2}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{5}{2} - - \frac{9}{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Multipliziere $- - \frac{9}{2}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - \frac{5}{2} + 1 (\frac{9}{2})$

Schritt 1.2.4.2.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $1$ .

$e = - \frac{5}{2} + \frac{9}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 5 + 9}{2}$

Schritt 1.2.4.2.3

Addiere $- 5$ und $9$ .

$e = \frac{4}{2}$

Schritt 1.2.4.2.4

Dividiere $4$ durch $2$ .

$e = 2$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 2$ ein.

$- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 2$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2} + 2$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = 2$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(3, 2)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Schritt 5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Schritt 5.3.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(3, \frac{3}{2})$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 3$

Schritt 8