Elementarmathematik Beispiele

$r^{2} \cos^{3} (θ) = \sin (θ)$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $r^{2} \cos^{3} (θ) = \sin (θ)$ durch $\cos^{3} (θ)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $r^{2} \cos^{3} (θ) = \sin (θ)$ durch $\cos^{3} (θ)$ .

$\frac{r^{2} \cos^{3} (θ)}{\cos^{3} (θ)} = \frac{\sin (θ)}{\cos^{3} (θ)}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{3} (θ)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r^{2} \cos^{3} (θ)}{\cos^{3} (θ)} = \frac{\sin (θ)}{\cos^{3} (θ)}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $r^{2}$ durch $1$ .

$r^{2} = \frac{\sin (θ)}{\cos^{3} (θ)}$

Schritt 2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$r = \pm \sqrt{\frac{\sin (θ)}{\cos^{3} (θ)}}$

Schritt 3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{\sin (θ)}{\cos^{3} (θ)}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe $\frac{\sin (θ)}{\cos^{3} (θ)}$ als ${(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $\sin (θ)$ heraus.

$r = \pm \sqrt{\frac{1^{2} \sin (θ)}{\cos^{3} (θ)}}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $\cos^{2} (θ)$ aus $\cos^{3} (θ)$ heraus.

$r = \pm \sqrt{\frac{1^{2} \sin (θ)}{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}}$

Schritt 3.1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} \sin (θ)}{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}$ um.

$r = \pm \sqrt{{(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Schritt 3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \sqrt{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Schritt 3.3

Schreibe $\sqrt{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$ als $\frac{\sqrt{\sin (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)}}$ um.

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)}}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{\sin (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)}}$ mit $\frac{\sqrt{\cos (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)}}$ .

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} (\frac{\sqrt{\sin (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)}} \cdot \frac{\sqrt{\cos (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)}})$

Schritt 3.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{\sin (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)}}$ mit $\frac{\sqrt{\cos (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)}}$ .

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}$

Schritt 3.5.2

Potenziere $\sqrt{\cos (θ)}$ mit $1$ .

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{{\sqrt{\cos (θ)}}^{1} \sqrt{\cos (θ)}}$

Schritt 3.5.3

Potenziere $\sqrt{\cos (θ)}$ mit $1$ .

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{{\sqrt{\cos (θ)}}^{1} {\sqrt{\cos (θ)}}^{1}}$

Schritt 3.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{{\sqrt{\cos (θ)}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{{\sqrt{\cos (θ)}}^{2}}$

Schritt 3.5.6

Schreibe ${\sqrt{\cos (θ)}}^{2}$ als $\cos (θ)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\cos (θ)}$ als ${\cos (θ)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{{({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{{\cos (θ)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{{\cos (θ)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{{\cos (θ)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{\cos^{1} (θ)}$

Schritt 3.5.6.5

Vereinfache.

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{\cos (θ)}$

Schritt 3.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos (θ)}$

Schritt 3.7

Multipliziere $\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos (θ)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (θ)}$ mit $\frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos (θ)}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Schritt 3.7.2

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}$

Schritt 3.7.3

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}$

Schritt 3.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r = \pm \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{{\cos (θ)}^{1 + 1}}$

Schritt 3.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{2} (θ)}$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$r = \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{2} (θ)}$

Schritt 4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$r = - \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{2} (θ)}$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{2} (θ)}$

$r = - \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{2} (θ)}$

$r = \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{2} (θ)}$

$r = - \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{2} (θ)}$