Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x + 3}{x - 5} \leq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 4

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 3$

$x = 5$

Schritt 5

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 3, 5$

Schritt 6

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x + 3}{x - 5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 3}{x - 5}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 5 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 6.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 5$

$x > 5$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 5} \leq 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $0.\overline{27}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) + 3}{(0) - 5} \leq 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $- 0.6$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(8) + 3}{(8) - 5} \leq 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $3.\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 3 \leq x < 5$

Schritt 10

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$[- 3, 5)$

Schritt 11