Elementarmathematik Beispiele

$\frac{- 5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} i$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(5) \sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} i$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $i$ .

$- \frac{5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i}{2}$

Schritt 2

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 3

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 4

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ und $b = \frac{5}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Schritt 5

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$| z | = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{2^{2}} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.4.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ an.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Schritt 5.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ an.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{{(5 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}})}$

Schritt 5.4.3

Wende die Produktregel auf $5 \sqrt{3}$ an.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.5.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + 1 (\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.6.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.6.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 5.6.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.6.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 5.6.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

Schritt 5.6.2.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

Schritt 5.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.7.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{4}}$

Schritt 5.7.2

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{75}{4}}$

Schritt 5.7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$| z | = \sqrt{\frac{25 + 75}{4}}$

Schritt 5.7.4

Addiere $25$ und $75$ .

$| z | = \sqrt{\frac{100}{4}}$

Schritt 5.7.5

Dividiere $100$ durch $4$ .

$| z | = \sqrt{25}$

Schritt 5.7.6

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{5^{2}}$

Schritt 5.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 5$

Schritt 6

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{\frac{5}{2}}{- \frac{5 \sqrt{3}}{2}})$

Schritt 7

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{\frac{5}{2}}{- \frac{5 \sqrt{3}}{2}}$ einen Winkel im zweiten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $\frac{5 π}{6}$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Schritt 8

Substituiere die Werte von $θ = \frac{5 π}{6}$ und $| z | = 5$ .

$5 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$