Elementarmathematik Beispiele

${(4 + 4 i)}^{5}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$4^{5} + 5 \cdot 4^{4} (4 i) + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Potenziere $4$ mit $5$ .

$1024 + 5 \cdot 4^{4} (4 i) + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $4^{4}$ mit $4$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.1

Bewege $4$ .

$1024 + 5 \cdot (4 \cdot 4^{4}) i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $4^{4}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Potenziere $4$ mit $1$ .

$1024 + 5 \cdot (4^{1} \cdot 4^{4}) i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1024 + 5 \cdot 4^{1 + 4} i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.2.3

Addiere $1$ und $4$ .

$1024 + 5 \cdot 4^{5} i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.3

Potenziere $4$ mit $5$ .

$1024 + 5 \cdot 1024 i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1024$ .

$1024 + 5120 i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.5

Potenziere $4$ mit $3$ .

$1024 + 5120 i + 10 \cdot 64 {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $10$ mit $64$ .

$1024 + 5120 i + 640 {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.7

Wende die Produktregel auf $4 i$ an.

$1024 + 5120 i + 640 (4^{2} i^{2}) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.8

Potenziere $4$ mit $2$ .

$1024 + 5120 i + 640 (16 i^{2}) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.9

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1024 + 5120 i + 640 (16 \cdot - 1) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.10

Multipliziere $640 (16 \cdot - 1)$ .

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Schritt 2.1.10.1

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$1024 + 5120 i + 640 \cdot - 16 + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.10.2

Mutltipliziere $640$ mit $- 16$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.11

Potenziere $4$ mit $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 10 \cdot 16 {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.12

Mutltipliziere $10$ mit $16$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.13

Wende die Produktregel auf $4 i$ an.

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (4^{3} i^{3}) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.14

Potenziere $4$ mit $3$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 i^{3}) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.15

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.16

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.17

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (- i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (- 64 i) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.19

Mutltipliziere $- 64$ mit $160$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.20

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.21

Wende die Produktregel auf $4 i$ an.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (4^{4} i^{4}) + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.22

Potenziere $4$ mit $4$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 i^{4}) + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.23

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.23.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 {(i^{2})}^{2}) + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.23.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 {(- 1)}^{2}) + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.23.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 \cdot 1) + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.24

Multipliziere $20 (256 \cdot 1)$ .

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Schritt 2.1.24.1

Mutltipliziere $256$ mit $1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 \cdot 256 + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.24.2

Mutltipliziere $20$ mit $256$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + {(4 i)}^{5}$

Schritt 2.1.25

Wende die Produktregel auf $4 i$ an.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 4^{5} i^{5}$

Schritt 2.1.26

Potenziere $4$ mit $5$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 i^{5}$

Schritt 2.1.27

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 (i^{4} i)$

Schritt 2.1.28

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.28.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 ({(i^{2})}^{2} i)$

Schritt 2.1.28.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 ({(- 1)}^{2} i)$

Schritt 2.1.28.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 (1 i)$

Schritt 2.1.29

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 i$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $10240$ von $1024$ .

$- 9216 + 5120 i - 10240 i + 5120 + 1024 i$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 9216$ und $5120$ .

$- 4096 + 5120 i - 10240 i + 1024 i$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $10240 i$ von $5120 i$ .

$- 4096 - 5120 i + 1024 i$

Schritt 2.2.4

Addiere $- 5120 i$ und $1024 i$ .

$- 4096 - 4096 i$

Schritt 3

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 5

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 4096$ und $b = - 4096$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4096)}^{2} + {(- 4096)}^{2}}$

Schritt 6

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 6.1

Potenziere $- 4096$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{16777216 + {(- 4096)}^{2}}$

Schritt 6.2

Potenziere $- 4096$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{16777216 + 16777216}$

Schritt 6.3

Addiere $16777216$ und $16777216$ .

$| z | = \sqrt{33554432}$

Schritt 6.4

Schreibe $33554432$ als $4096^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $16777216$ aus $33554432$ heraus.

$| z | = \sqrt{16777216 (2)}$

Schritt 6.4.2

Schreibe $16777216$ als $4096^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{4096^{2} \cdot 2}$

Schritt 6.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| z | = 4096 \sqrt{2}$

Schritt 7

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- 4096}{- 4096})$

Schritt 8

Da der inverse Tangens von $\frac{- 4096}{- 4096}$ einen Winkel im dritten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Schritt 9

Substituiere die Werte von $θ = \frac{5 π}{4}$ und $| z | = 4096 \sqrt{2}$ .

$4096 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$