Elementarmathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} 12 & - 8 \\ 5 & - 7 \end{array}]$

Schritt 1

Die Umkehrfunktion einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ bestimmt werden, wobei $a d - b c$ die Determinante ist.

Schritt 2

Bestimme die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$12 \cdot - 7 - 5 \cdot - 8$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $12$ mit $- 7$ .

$- 84 - 5 \cdot - 8$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 8$ .

$- 84 + 40$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 84$ und $40$ .

$- 44$

Schritt 3

Da die Determinante ungleich null ist, existiert die Umkehrfunktion.

Schritt 4

Setze die bekannten Werte in die Formel für die Umkehrfunktion ein.

$\frac{1}{- 44} [\begin{array}{c} - 7 & 8 \\ - 5 & 12 \end{array}]$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{44} [\begin{array}{c} - 7 & 8 \\ - 5 & 12 \end{array}]$

Schritt 6

Multipliziere $- \frac{1}{44}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{44} \cdot - 7 & - \frac{1}{44} \cdot 8 \\ - \frac{1}{44} \cdot - 5 & - \frac{1}{44} \cdot 12 \end{array}]$

Schritt 7

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Multipliziere $- \frac{1}{44} \cdot - 7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 7 (\frac{1}{44}) & - \frac{1}{44} \cdot 8 \\ - \frac{1}{44} \cdot - 5 & - \frac{1}{44} \cdot 12 \end{array}]$

Schritt 7.1.2

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{44}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{44} & - \frac{1}{44} \cdot 8 \\ - \frac{1}{44} \cdot - 5 & - \frac{1}{44} \cdot 12 \end{array}]$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{44}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{44} & \frac{- 1}{44} \cdot 8 \\ - \frac{1}{44} \cdot - 5 & - \frac{1}{44} \cdot 12 \end{array}]$

Schritt 7.2.2

Faktorisiere $4$ aus $44$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{44} & \frac{- 1}{4 (11)} \cdot 8 \\ - \frac{1}{44} \cdot - 5 & - \frac{1}{44} \cdot 12 \end{array}]$

Schritt 7.2.3

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{44} & \frac{- 1}{4 \cdot 11} \cdot (4 \cdot 2) \\ - \frac{1}{44} \cdot - 5 & - \frac{1}{44} \cdot 12 \end{array}]$

Schritt 7.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{44} & \frac{- 1}{4 \cdot 11} \cdot (4 \cdot 2) \\ - \frac{1}{44} \cdot - 5 & - \frac{1}{44} \cdot 12 \end{array}]$

Schritt 7.2.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{44} & \frac{- 1}{11} \cdot 2 \\ - \frac{1}{44} \cdot - 5 & - \frac{1}{44} \cdot 12 \end{array}]$

Schritt 7.3

Kombiniere $\frac{- 1}{11}$ und $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{44} & \frac{- 1 \cdot 2}{11} \\ - \frac{1}{44} \cdot - 5 & - \frac{1}{44} \cdot 12 \end{array}]$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{44} & \frac{- 2}{11} \\ - \frac{1}{44} \cdot - 5 & - \frac{1}{44} \cdot 12 \end{array}]$

Schritt 7.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{44} & - \frac{2}{11} \\ - \frac{1}{44} \cdot - 5 & - \frac{1}{44} \cdot 12 \end{array}]$

Schritt 7.6

Multipliziere $- \frac{1}{44} \cdot - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.6.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{44} & - \frac{2}{11} \\ 5 (\frac{1}{44}) & - \frac{1}{44} \cdot 12 \end{array}]$

Schritt 7.6.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{44}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{44} & - \frac{2}{11} \\ \frac{5}{44} & - \frac{1}{44} \cdot 12 \end{array}]$

Schritt 7.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{44}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{44} & - \frac{2}{11} \\ \frac{5}{44} & \frac{- 1}{44} \cdot 12 \end{array}]$

Schritt 7.7.2

Faktorisiere $4$ aus $44$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{44} & - \frac{2}{11} \\ \frac{5}{44} & \frac{- 1}{4 (11)} \cdot 12 \end{array}]$

Schritt 7.7.3

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{44} & - \frac{2}{11} \\ \frac{5}{44} & \frac{- 1}{4 \cdot 11} \cdot (4 \cdot 3) \end{array}]$

Schritt 7.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{44} & - \frac{2}{11} \\ \frac{5}{44} & \frac{- 1}{4 \cdot 11} \cdot (4 \cdot 3) \end{array}]$

Schritt 7.7.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{44} & - \frac{2}{11} \\ \frac{5}{44} & \frac{- 1}{11} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.8

Kombiniere $\frac{- 1}{11}$ und $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{44} & - \frac{2}{11} \\ \frac{5}{44} & \frac{- 1 \cdot 3}{11} \end{array}]$

Schritt 7.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{44} & - \frac{2}{11} \\ \frac{5}{44} & \frac{- 3}{11} \end{array}]$

Schritt 7.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{44} & - \frac{2}{11} \\ \frac{5}{44} & - \frac{3}{11} \end{array}]$