Elementarmathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 5 & - 3 \end{array}]$

Schritt 1

Die Umkehrfunktion einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ bestimmt werden, wobei $a d - b c$ die Determinante ist.

Schritt 2

Bestimme die Determinante.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$8 \cdot - 3 - 5 \cdot - 3$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 3$ .

$- 24 - 5 \cdot - 3$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 3$ .

$- 24 + 15$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 24$ und $15$ .

$- 9$

Schritt 3

Da die Determinante ungleich null ist, existiert die Umkehrfunktion.

Schritt 4

Setze die bekannten Werte in die Formel für die Umkehrfunktion ein.

$\frac{1}{- 9} [\begin{array}{c} - 3 & 3 \\ - 5 & 8 \end{array}]$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{9} [\begin{array}{c} - 3 & 3 \\ - 5 & 8 \end{array}]$

Schritt 6

Multipliziere $- \frac{1}{9}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} \cdot - 3 & - \frac{1}{9} \cdot 3 \\ - \frac{1}{9} \cdot - 5 & - \frac{1}{9} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{9}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{9} \cdot - 3 & - \frac{1}{9} \cdot 3 \\ - \frac{1}{9} \cdot - 5 & - \frac{1}{9} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 (3)} \cdot - 3 & - \frac{1}{9} \cdot 3 \\ - \frac{1}{9} \cdot - 5 & - \frac{1}{9} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1) & - \frac{1}{9} \cdot 3 \\ - \frac{1}{9} \cdot - 5 & - \frac{1}{9} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1) & - \frac{1}{9} \cdot 3 \\ - \frac{1}{9} \cdot - 5 & - \frac{1}{9} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.1.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3} \cdot - 1 & - \frac{1}{9} \cdot 3 \\ - \frac{1}{9} \cdot - 5 & - \frac{1}{9} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{- 1}{3}$ und $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 1}{3} & - \frac{1}{9} \cdot 3 \\ - \frac{1}{9} \cdot - 5 & - \frac{1}{9} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \cdot 3 \\ - \frac{1}{9} \cdot - 5 & - \frac{1}{9} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{9}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & \frac{- 1}{9} \cdot 3 \\ - \frac{1}{9} \cdot - 5 & - \frac{1}{9} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.4.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & \frac{- 1}{3 (3)} \cdot 3 \\ - \frac{1}{9} \cdot - 5 & - \frac{1}{9} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & \frac{- 1}{3 \cdot 3} \cdot 3 \\ - \frac{1}{9} \cdot - 5 & - \frac{1}{9} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.4.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & \frac{- 1}{3} \\ - \frac{1}{9} \cdot - 5 & - \frac{1}{9} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{9} \cdot - 5 & - \frac{1}{9} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.6

Multipliziere $- \frac{1}{9} \cdot - 5$ .

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Schritt 7.6.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ 5 (\frac{1}{9}) & - \frac{1}{9} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.6.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{9}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 7.7

Multipliziere $- \frac{1}{9} \cdot 8$ .

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Schritt 7.7.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ \frac{5}{9} & - 8 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Schritt 7.7.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{9}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ \frac{5}{9} & \frac{- 8}{9} \end{array}]$

Schritt 7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ \frac{5}{9} & - \frac{8}{9} \end{array}]$