Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + 1 = \sec^{2} (θ)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + 1$

Schritt 2

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + 1$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2} - {\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + 1$

Schritt 3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \cos (θ)$ .

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}} + 1$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ)) + {\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$

Schritt 4

Schreibe $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ als $\sec^{2} (θ)$ um.

$\sec^{2} (θ)$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + 1 = \sec^{2} (θ)$ ist eine Identitätsgleichung