Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{3} - 7 x^{2} - 8 x - 9}{x - 4}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{x^{3} - 7 x^{2} - 8 x - 9}{x - 4}$ nicht definiert ist.

$x = 4$

Schritt 2

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 3

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 3$

$m = 1$

Schritt 4

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 5

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$9$

Schritt 5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Schritt 5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 4 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Schritt 5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Schritt 5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$

Schritt 5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x^{2} + 12 x$

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$

Schritt 5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$20 x$

Schritt 5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$20 x$	-	$9$

Schritt 5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 20 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$20$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$20 x$	-	$9$

Schritt 5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$20$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$20 x$	-	$9$
							-	$20 x$	+	$80$

Schritt 5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 20 x + 80$

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$20$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$20 x$	-	$9$
							+	$20 x$	-	$80$

Schritt 5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$20$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$8 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$20 x$	-	$9$
							+	$20 x$	-	$80$
									-	$89$

Schritt 5.16

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$x^{2} - 3 x - 20 - \frac{89}{x - 4}$

Schritt 5.17

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = x^{2} - 3 x - 20$

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 4$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = x^{2} - 3 x - 20$

Schritt 7