Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{6 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} - 3}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{6 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} - 3}$ nicht definiert ist.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}, x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Schritt 2

Da $\frac{6 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} - 3}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ von links und $\frac{6 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} - 3}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ von rechts, dann ist $x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$ eine vertikale Asymptote.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Schritt 3

Da $\frac{6 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} - 3}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ von links und $\frac{6 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} - 3}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ von rechts, dann ist $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ eine vertikale Asymptote.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Schritt 4

Liste alle vertikalen Asymptoten auf:

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}$

Schritt 5

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 6

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 5$

$m = 2$

Schritt 7

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 8

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 8.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

Schritt 8.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x^{5}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x^{2}$ .

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

Schritt 8.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

Schritt 8.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x^{5} + 0 - 9 x^{3}$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

Schritt 8.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

Schritt 8.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

Schritt 8.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x^{2}$ .

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

Schritt 8.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6 x^{3}$

$0$

$9 x$

Schritt 8.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x^{3} + 0 - 9 x$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6 x^{3}$

$0$

$9 x$

Schritt 8.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6 x^{3}$

$0$

$9 x$

$16 x$

Schritt 8.11

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6 x^{3}$

$0$

$9 x$

$16 x$

$3$

Schritt 8.12

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$3 x^{3} + 3 x + \frac{16 x - 3}{2 x^{2} - 3}$

Schritt 8.13

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = 3 x^{3} + 3 x$

Schritt 9

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = 3 x^{3} + 3 x$

Schritt 10