Elementarmathematik Beispiele

$7 + 42 \cdot 3^{2 - 3 a} = 14 \cdot 3^{- 2 a} + 7$

Schritt 1

Subtrahiere $14 \cdot 3^{- 2 a}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 + 42 \cdot 3^{2 - 3 a} - 14 \cdot 3^{- 2 a} = 7$

Schritt 2

Schreibe $3^{2 - 3 a}$ als $3^{2} \cdot 3^{- 3 a}$ um.

$7 + 42 \cdot (3^{2} \cdot 3^{- 3 a}) - 14 \cdot 3^{- 2 a} = 7$

Schritt 3

Schreibe $3^{- 3 a}$ als Potenz um.

$7 + 42 \cdot (3^{2} \cdot {(3^{a})}^{- 3}) - 14 \cdot 3^{- 2 a} = 7$

Schritt 4

Schreibe $3^{- 2 a}$ als Potenz um.

$7 + 42 \cdot (3^{2} \cdot {(3^{a})}^{- 3}) - 14 \cdot {(3^{a})}^{- 2} = 7$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 14$ mit ${3^{a}}^{- 2}$ .

$7 + 42 \cdot (3^{2} {(3^{a})}^{- 3}) - 14 {(3^{a})}^{- 2} = 7$

Schritt 6

Ersetze $3^{a}$ durch $u$ .

$7 + 42 \cdot (3^{2} u^{- 3}) - 14 u^{- 2} = 7$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$7 + 42 \cdot (9 u^{- 3}) - 14 u^{- 2} = 7$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $42$ mit $9$ .

$7 + 378 u^{- 3} - 14 u^{- 2} = 7$

Schritt 7.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 + 378 (\frac{1}{u^{3}}) - 14 u^{- 2} = 7$

Schritt 7.4

Kombiniere $378$ und $\frac{1}{u^{3}}$ .

$7 + \frac{378}{u^{3}} - 14 u^{- 2} = 7$

Schritt 7.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 + \frac{378}{u^{3}} - 14 \frac{1}{u^{2}} = 7$

Schritt 7.6

Kombiniere $- 14$ und $\frac{1}{u^{2}}$ .

$7 + \frac{378}{u^{3}} + \frac{- 14}{u^{2}} = 7$

Schritt 7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$7 + \frac{378}{u^{3}} - \frac{14}{u^{2}} = 7$

Schritt 8

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 8.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u^{3}, u^{2}, 1$

Schritt 8.1.2

Da $1, u^{3}, u^{2}, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 1, 1$ und anschließend für den variablen Teil $u^{3}, u^{2}$ .

Schritt 8.1.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 8.1.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 8.1.5

Das kgV von $1, 1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 8.1.6

Die Teiler von $u^{3}$ sind $u \cdot u \cdot u$ , was $u$ $3$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$u^{3} = u \cdot u \cdot u$

$u$ tritt $3$ -mal auf.

Schritt 8.1.7

Die Teiler von $u^{2}$ sind $u \cdot u$ , was $u$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$u^{2} = u \cdot u$

$u$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 8.1.8

Das kgV von $u^{3}, u^{2}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$u \cdot u \cdot u$

Schritt 8.1.9

Vereinfache $u \cdot u \cdot u$ .

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Schritt 8.1.9.1

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u^{2} \cdot u$

Schritt 8.1.9.2

Multipliziere $u^{2}$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.1.9.2.1

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $u$ .

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Schritt 8.1.9.2.1.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$u^{2} \cdot u^{1}$

Schritt 8.1.9.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u^{2 + 1}$

Schritt 8.1.9.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$u^{3}$

Schritt 8.2

Multipliziere jeden Term in $7 + \frac{378}{u^{3}} - \frac{14}{u^{2}} = 7$ mit $u^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 8.2.1

Multipliziere jeden Term in $7 + \frac{378}{u^{3}} - \frac{14}{u^{2}} = 7$ mit $u^{3}$ .

$7 u^{3} + \frac{378}{u^{3}} u^{3} - \frac{14}{u^{2}} u^{3} = 7 u^{3}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u^{3}$ .

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Schritt 8.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 u^{3} + \frac{378}{u^{3}} u^{3} - \frac{14}{u^{2}} u^{3} = 7 u^{3}$

Schritt 8.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$7 u^{3} + 378 - \frac{14}{u^{2}} u^{3} = 7 u^{3}$

Schritt 8.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u^{2}$ .

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Schritt 8.2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{14}{u^{2}}$ in den Zähler.

$7 u^{3} + 378 + \frac{- 14}{u^{2}} u^{3} = 7 u^{3}$

Schritt 8.2.2.1.2.2

Faktorisiere $u^{2}$ aus $u^{3}$ heraus.

$7 u^{3} + 378 + \frac{- 14}{u^{2}} (u^{2} u) = 7 u^{3}$

Schritt 8.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 u^{3} + 378 + \frac{- 14}{u^{2}} (u^{2} u) = 7 u^{3}$

Schritt 8.2.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$7 u^{3} + 378 - 14 u = 7 u^{3}$

Schritt 8.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 8.3.1

Bringe alle Terme, die $u$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.3.1.1

Subtrahiere $7 u^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 u^{3} + 378 - 14 u - 7 u^{3} = 0$

Schritt 8.3.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $7 u^{3} + 378 - 14 u - 7 u^{3}$ .

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Schritt 8.3.1.2.1

Subtrahiere $7 u^{3}$ von $7 u^{3}$ .

$378 - 14 u + 0 = 0$

Schritt 8.3.1.2.2

Addiere $378 - 14 u$ und $0$ .

$378 - 14 u = 0$

Schritt 8.3.2

Subtrahiere $378$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 14 u = - 378$

Schritt 8.3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 14 u = - 378$ durch $- 14$ und vereinfache.

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Schritt 8.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 14 u = - 378$ durch $- 14$ .

$\frac{- 14 u}{- 14} = \frac{- 378}{- 14}$

Schritt 8.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 14$ .

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Schritt 8.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 14 u}{- 14} = \frac{- 378}{- 14}$

Schritt 8.3.3.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 378}{- 14}$

Schritt 8.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.3.3.1

Dividiere $- 378$ durch $- 14$ .

$u = 27$

Schritt 9

Setze $27$ für $u$ in $u = 3^{a}$ ein.

$27 = 3^{a}$

Schritt 10

Löse $27 = 3^{a}$ .

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $3^{a} = 27$ um.

$3^{a} = 27$

Schritt 10.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{a} = 3^{3}$

Schritt 10.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$a = 3$