Elementarmathematik Beispiele

${(z^{2} + 8 z)}^{2} + 23 (z^{2} + 8 z) + 112 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = z^{2} + 8 z$ . Ersetze $u$ für alle $z^{2} + 8 z$ .

$u^{2} + 23 u + 112 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $u^{2} + 23 u + 112$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $112$ und deren Summe $23$ ist.

$7, 16$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u + 7) (u + 16) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $z^{2} + 8 z$ .

$(z^{2} + 8 z + 7) (z^{2} + 8 z + 16) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$z^{2} + 8 z + 7 = 0$

$z^{2} + 8 z + 16 = 0$

Schritt 3

Setze $z^{2} + 8 z + 7$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $z^{2} + 8 z + 7$ gleich $0$ .

$z^{2} + 8 z + 7 = 0$

Schritt 3.2

Löse $z^{2} + 8 z + 7 = 0$ nach $z$ auf.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $z^{2} + 8 z + 7$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $7$ und deren Summe $8$ ist.

$1, 7$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(z + 1) (z + 7) = 0$

Schritt 3.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$z + 1 = 0$

$z + 7 = 0$

Schritt 3.2.3

Setze $z + 1$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 3.2.3.1

Setze $z + 1$ gleich $0$ .

$z + 1 = 0$

Schritt 3.2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z = - 1$

Schritt 3.2.4

Setze $z + 7$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 3.2.4.1

Setze $z + 7$ gleich $0$ .

$z + 7 = 0$

Schritt 3.2.4.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z = - 7$

Schritt 3.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(z + 1) (z + 7) = 0$ wahr machen.

$z = - 1, - 7$

Schritt 4

Setze $z^{2} + 8 z + 16$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $z^{2} + 8 z + 16$ gleich $0$ .

$z^{2} + 8 z + 16 = 0$

Schritt 4.2

Löse $z^{2} + 8 z + 16 = 0$ nach $z$ auf.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.2.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$z^{2} + 8 z + 4^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 z = 2 \cdot z \cdot 4$

Schritt 4.2.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$z^{2} + 2 \cdot z \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = z$ und $b = 4$ .

${(z + 4)}^{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Setze $z + 4$ gleich $0$ .

$z + 4 = 0$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z = - 4$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(z^{2} + 8 z + 7) (z^{2} + 8 z + 16) = 0$ wahr machen.

$z = - 1, - 7, - 4$