Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + 5 y^{2} + x - 35 y + 56.5 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $56.5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 5 y^{2} + x - 35 y = - 56.5$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} + x$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{2}$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ ein.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Schritt 3

Setze ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ für $x^{2} + x$ ein in der Gleichung $x^{2} + 5 y^{2} + x - 35 y = - 56.5$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + 5 y^{2} - 35 y = - 56.5$

Schritt 4

Bringe $- \frac{1}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 y^{2} - 35 y = - 56.5 + \frac{1}{4}$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $5 y^{2} - 35 y$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 5$

$b = - 35$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 35}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 35$ und $5$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $5$ aus $- 35$ heraus.

$d = \frac{5 \cdot - 7}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $2 \cdot 5$ heraus.

$d = \frac{5 \cdot - 7}{5 \cdot 2}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{5 \cdot - 7}{5 \cdot 2}$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 7}{2}$

Schritt 5.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{7}{2}$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 35)}^{2}}{4 \cdot 5}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $- 35$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1225}{4 \cdot 5}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$e = 0 - \frac{1225}{20}$

Schritt 5.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1225$ und $20$ .

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Schritt 5.4.2.1.3.1

Faktorisiere $5$ aus $1225$ heraus.

$e = 0 - \frac{5 (245)}{20}$

Schritt 5.4.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.2.1.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$e = 0 - \frac{5 \cdot 245}{5 \cdot 4}$

Schritt 5.4.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{5 \cdot 245}{5 \cdot 4}$

Schritt 5.4.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{245}{4}$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $\frac{245}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{245}{4}$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{245}{4}$ ein.

$5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{245}{4}$

Schritt 6

Setze $5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{245}{4}$ für $5 y^{2} - 35 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + 5 y^{2} + x - 35 y = - 56.5$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{245}{4} = - 56.5 + \frac{1}{4}$

Schritt 7

Bringe $- \frac{245}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{245}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 56.5 + \frac{1}{4} + \frac{245}{4}$

Schritt 8

Vereinfache $- 56.5 + \frac{1}{4} + \frac{245}{4}$ .

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Schritt 8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 56.5 + \frac{1 + 245}{4}$

Schritt 8.2

Addiere $1$ und $245$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 56.5 + \frac{246}{4}$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $246$ und $4$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $2$ aus $246$ heraus.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 56.5 + \frac{2 (123)}{4}$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 56.5 + \frac{2 \cdot 123}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 56.5 + \frac{2 \cdot 123}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 56.5 + \frac{123}{2}$

Schritt 8.4

Um $- 56.5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 56.5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{123}{2}$

Schritt 8.5

Kombiniere $- 56.5$ und $\frac{2}{2}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 56.5 \cdot 2}{2} + \frac{123}{2}$

Schritt 8.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 56.5 \cdot 2 + 123}{2}$

Schritt 8.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.7.1

Mutltipliziere $- 56.5$ mit $2$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 113 + 123}{2}$

Schritt 8.7.2

Addiere $- 113$ und $123$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{10}{2}$

Schritt 8.8

Dividiere $10$ durch $2$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = 5$

Schritt 9

Teile jeden Term durch $5$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{5} + \frac{5 {(y - \frac{7}{2})}^{2}}{5} = \frac{5}{5}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{1}{0.2}} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = 1$