Elementarmathematik Beispiele

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x + 5 y = 0$

Schritt 1

Teile beide Seiten der Gleichung durch $3$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 x + \frac{5 y}{3} = 0$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - 2 x$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{1}$

Schritt 2.3.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = - 1$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 2.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 2.4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = 0 - 1$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$e = - 1$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - 1)}^{2} - 1$ ein.

${(x - 1)}^{2} - 1$

Schritt 3

Setze ${(x - 1)}^{2} - 1$ für $x^{2} - 2 x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 2 x + \frac{5 y}{3} = 0$ .

${(x - 1)}^{2} - 1 + y^{2} + \frac{5 y}{3} = 0$

Schritt 4

Bringe $- 1$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $1$ auf beiden Seiten.

${(x - 1)}^{2} + y^{2} + \frac{5 y}{3} = 0 + 1$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + \frac{5 y}{3}$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = \frac{5}{3}$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{5}{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.2.3

Multipliziere $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{5}{3 \cdot 2}$

Schritt 5.3.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$d = \frac{5}{6}$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(\frac{5}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{3}$ an.

$e = 0 - \frac{\frac{5^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4}$

Schritt 5.4.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 0 - (\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 5.4.2.1.4

Multipliziere $\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 5.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{25}{9}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{25}{9 \cdot 4}$

Schritt 5.4.2.1.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{25}{36}$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $\frac{25}{36}$ von $0$ .

$e = - \frac{25}{36}$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ ein.

${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$

Schritt 6

Setze ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ für $y^{2} + \frac{5 y}{3}$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 2 x + \frac{5 y}{3} = 0$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36} = 0 + 1$

Schritt 7

Bringe $- \frac{25}{36}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{25}{36}$ auf beiden Seiten.

${(x - 1)}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = 0 + 1 + \frac{25}{36}$

Schritt 8

Vereinfache $0 + 1 + \frac{25}{36}$ .

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Schritt 8.1

Addiere $0$ und $1$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = 1 + \frac{25}{36}$

Schritt 8.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(x - 1)}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{36}{36} + \frac{25}{36}$

Schritt 8.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - 1)}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{36 + 25}{36}$

Schritt 8.4

Addiere $36$ und $25$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{61}{36}$