Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 3 x = 0$

Schritt 1

Teile beide Seiten der Gleichung durch $2$ .

$x^{2} + y^{2} - \frac{3 x}{2} = 0$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - \frac{3 x}{2}$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - \frac{3}{2}$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{3}{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1$ und $1$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$d = \frac{- 1 (1) \frac{3}{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{3}{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Multipliziere $- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$d = - \frac{3}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$d = - \frac{3}{4}$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- \frac{3}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$e = 0 - \frac{1 \frac{3^{2}}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{9}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{9}{4})}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{9}{4}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{9}{4}}{4}$

Schritt 2.4.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 0 - (\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 2.4.2.1.4

Multipliziere $\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 2.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.4.2.1.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{9}{16}$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $\frac{9}{16}$ von $0$ .

$e = - \frac{9}{16}$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{16}$ ein.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{16}$

Schritt 3

Setze ${(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{16}$ für $x^{2} - \frac{3 x}{2}$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - \frac{3 x}{2} = 0$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{16} + y^{2} = 0$

Schritt 4

Bringe $- \frac{9}{16}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{9}{16}$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} + y^{2} = 0 + \frac{9}{16}$

Schritt 5

Addiere $0$ und $\frac{9}{16}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} + y^{2} = \frac{9}{16}$

Schritt 6

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 7

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = \frac{3}{4}$

$h = \frac{3}{4}$

$k = 0$

Schritt 8

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(\frac{3}{4}, 0)$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(\frac{3}{4}, 0)$

Radius: $\frac{3}{4}$

Schritt 10