Elementarmathematik Beispiele

$(3 \sqrt{2}, \frac{3 π}{4})$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten $(x, y)$ in Polarkoordinaten $(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \sqrt{{(3 \sqrt{2})}^{2} + {(\frac{3 π}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $3 \sqrt{2}$ an.

$r = \sqrt{3^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(\frac{3 π}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$r = \sqrt{9 {\sqrt{2}}^{2} + {(\frac{3 π}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{9 {\sqrt{2}}^{2} + {(\frac{3 π}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \sqrt{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\frac{3 π}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\frac{3 π}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \sqrt{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(\frac{3 π}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(\frac{3 π}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{9 \cdot 2 + {(\frac{3 π}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{9 \cdot 2 + {(\frac{3 π}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{9 \cdot 2 + {(\frac{3 π}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{9 \cdot 2 + {(\frac{3 π}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$r = \sqrt{18 + {(\frac{3 π}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 π}{4}$ an.

$r = \sqrt{18 + \frac{{(3 π)}^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.2

Wende die Produktregel auf $3 π$ an.

$r = \sqrt{18 + \frac{3^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{18 + \frac{3^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$r = \sqrt{18 + \frac{9 π^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.6

Potenziere $4$ mit $2$ .

$r = \sqrt{18 + \frac{9 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$r = \sqrt{18 \cdot \frac{16}{16} + \frac{9 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.8

Kombiniere $18$ und $\frac{16}{16}$ .

$r = \sqrt{\frac{18 \cdot 16}{16} + \frac{9 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.9.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$r = \sqrt{\frac{18 \cdot 16 + 9 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.9.2

Mutltipliziere $18$ mit $16$ .

$r = \sqrt{\frac{288 + 9 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{288 + 9 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.10

Schreibe $\sqrt{\frac{288 + 9 π^{2}}{16}}$ als $\frac{\sqrt{288 + 9 π^{2}}}{\sqrt{16}}$ um.

$r = \frac{\sqrt{288 + 9 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.1

Schreibe $288 + 9 π^{2}$ als $3^{2} (32 + π^{2})$ um.

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Schritt 3.11.1.1

Faktorisiere $9$ aus $288$ heraus.

$r = \frac{\sqrt{9 (32) + 9 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.11.1.2

Faktorisiere $9$ aus $9 π^{2}$ heraus.

$r = \frac{\sqrt{9 (32) + 9 (π^{2})}}{\sqrt{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.11.1.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (32) + 9 (π^{2})$ heraus.

$r = \frac{\sqrt{9 (32 + π^{2})}}{\sqrt{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.11.1.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$r = \frac{\sqrt{3^{2} (32 + π^{2})}}{\sqrt{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{3^{2} (32 + π^{2})}}{\sqrt{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.11.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \frac{3 \sqrt{32 + π^{2}}}{\sqrt{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{3 \sqrt{32 + π^{2}}}{\sqrt{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.12

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.12.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$r = \frac{3 \sqrt{32 + π^{2}}}{\sqrt{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.12.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = \frac{3 \sqrt{32 + π^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{3 \sqrt{32 + π^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{3 \sqrt{32 + π^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \frac{3 \sqrt{32 + π^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{3 π}{4}}{3 \sqrt{2}})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von $\frac{π \sqrt{2}}{8}$ ist $θ = 29.04605753 °$ .

$r = \frac{3 \sqrt{32 + π^{2}}}{4}$

$θ = 29.04605753 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in $(r, θ)$ -Form.

$(\frac{3 \sqrt{32 + π^{2}}}{4}, 29.04605753 °)$