Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{3} \cos (2 x) = 2 \sin (x) \cos (2 x)$

Schritt 1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 2 \sin (x) \cos (2 x)$

Schritt 2

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Schritt 3

Subtrahiere $2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 \sin (x) (- \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 4.1.3

Multipliziere $\sin (x)$ mit $\sin^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.3.1

Bewege $\sin^{2} (x)$ .

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1 = 0$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $\sin (x)$ .

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Schritt 4.1.3.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1 = 0$

Schritt 4.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1 = 0$

Schritt 4.1.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 \sin^{3} (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin^{3} (x) = 0$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin^{3} (x)$ .

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Schritt 5.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin^{3} (x) = 0$

Schritt 5.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$(\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) (\sqrt{3} - 2 \sin (x)) = 0$

Schritt 5.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (x)$ und $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) (\sqrt{3} - 2 \sin (x)) = 0$

Schritt 5.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

$\sqrt{3} - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 5.3

Setze $\cos (x) + \sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Setze $\cos (x) + \sin (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Schritt 5.3.2

Löse $\cos (x) + \sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 5.3.2.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 5.3.2.4

Separiere Brüche.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 5.3.2.5

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 5.3.2.6

Dividiere $0$ durch $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Schritt 5.3.2.7

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Schritt 5.3.2.8

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (x) = - 1$

Schritt 5.3.2.9

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 1)$

Schritt 5.3.2.10

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.10.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 5.3.2.11

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Schritt 5.3.2.12

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.3.2.12.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Schritt 5.3.2.12.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.3.2.13

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 5.3.2.13.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 5.3.2.13.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 5.3.2.13.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 5.3.2.13.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 5.3.2.14

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 5.3.2.14.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + π$

Schritt 5.3.2.14.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.3.2.14.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.3.2.14.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.3.2.14.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 5.3.2.14.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.14.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 5.3.2.14.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Schritt 5.3.2.14.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.3.2.15

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.4

Setze $\cos (x) - \sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $\cos (x) - \sin (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Schritt 5.4.2

Löse $\cos (x) - \sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 5.4.2.3

Separiere Brüche.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 5.4.2.4

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 5.4.2.5

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 5.4.2.6

Separiere Brüche.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 5.4.2.7

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 5.4.2.8

Dividiere $0$ durch $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Schritt 5.4.2.9

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Schritt 5.4.2.10

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \tan (x) = - 1$

Schritt 5.4.2.11

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.11.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.4.2.11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.11.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.4.2.11.2.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.4.2.11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.11.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Schritt 5.4.2.12

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (1)$

Schritt 5.4.2.13

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.13.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 5.4.2.14

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 5.4.2.15

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 5.4.2.15.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 5.4.2.15.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.4.2.15.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 5.4.2.15.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 5.4.2.15.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.2.15.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 5.4.2.15.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 5.4.2.16

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 5.4.2.16.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 5.4.2.16.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 5.4.2.16.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 5.4.2.16.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 5.4.2.17

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.5

Setze $\sqrt{3} - 2 \sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $\sqrt{3} - 2 \sin (x)$ gleich $0$ .

$\sqrt{3} - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 5.5.2

Löse $\sqrt{3} - 2 \sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.2.1

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$

Schritt 5.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 5.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 5.5.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 5.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.5.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 5.5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 5.5.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{3}$

Schritt 5.5.2.6

Vereinfache $π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 5.5.2.6.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 5.5.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.5.2.6.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 5.5.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 5.5.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.2.6.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Schritt 5.5.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.5.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.5.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.5.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.5.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) (\sqrt{3} - 2 \sin (x)) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 6.1

Führe $\frac{3 π}{4} + π n$ und $\frac{π}{4} + π n$ zu $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ zusammen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6.2

Führe $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ und $\frac{5 π}{4} + π n$ zu $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ zusammen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7