Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt[3]{x} + 4$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[3]{y} + 4$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{y} + 4 = x$ um.

$\sqrt[3]{y} + 4 = x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt[3]{y} = x - 4$

Schritt 2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(x - 4)}^{3}$

Schritt 2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y}$ als $y^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 4)}^{3}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 4)}^{3}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 4)}^{3}$

Schritt 2.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(x - 4)}^{3}$

Schritt 2.4.2.1.2

Vereinfache.

$y = {(x - 4)}^{3}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache ${(x - 4)}^{3}$ .

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Schritt 2.4.3.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}$

Schritt 2.4.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}$

Schritt 2.4.3.1.2.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3}$

Schritt 2.4.3.1.2.3

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3}$

Schritt 2.4.3.1.2.4

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[3]{x} + 4$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = {\sqrt[3]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.2.1

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ als $x$ um.

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Schritt 4.2.3.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.2.1.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.2.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ als $\sqrt[3]{x^{2}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 3 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.2.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 16 + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.2.5

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.2.6

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.3

Schreibe ${(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2}$ als $(\sqrt[3]{x} + 4) (\sqrt[3]{x} + 4)$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 ((\sqrt[3]{x} + 4) (\sqrt[3]{x} + 4)) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.4

Multipliziere $(\sqrt[3]{x} + 4) (\sqrt[3]{x} + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} (\sqrt[3]{x} + 4) + 4 (\sqrt[3]{x} + 4)) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 (\sqrt[3]{x} + 4)) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.5.1.1

Multipliziere $\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ .

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Schritt 4.2.3.5.1.1.1

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.5.1.1.2

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.5.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 ({\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.5.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 ({\sqrt[3]{x}}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.5.1.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ als $\sqrt[3]{x^{2}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.5.1.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x^{2}} + 4 \cdot \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.5.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x^{2}} + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + 16) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.5.2

Addiere $4 \sqrt[3]{x}$ und $4 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x^{2}} + 8 \sqrt[3]{x} + 16) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 (8 \sqrt[3]{x}) - 12 \cdot 16 + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.7.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 12$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \cdot 16 + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.7.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $16$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Schritt 4.2.3.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 48 \cdot 4 - 64$

Schritt 4.2.3.9

Mutltipliziere $48$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 192 - 64$

Schritt 4.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 192 - 64$ .

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Schritt 4.2.4.1.1

Subtrahiere $12 \sqrt[3]{x^{2}}$ von $12 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 0 + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 192 - 64$

Schritt 4.2.4.1.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 192 - 64$

Schritt 4.2.4.1.3

Addiere $- 192$ und $192$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x} + 0 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Schritt 4.2.4.1.4

Addiere $x + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Schritt 4.2.4.1.5

Subtrahiere $64$ von $64$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} + 0 - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

Schritt 4.2.4.1.6

Addiere $x + 48 \sqrt[3]{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

Schritt 4.2.4.2

Subtrahiere $96 \sqrt[3]{x}$ von $48 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x - 48 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

Schritt 4.2.4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 48 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$ .

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Schritt 4.2.4.3.1

Addiere $- 48 \sqrt[3]{x}$ und $48 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 0$

Schritt 4.2.4.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = \sqrt[3]{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64} + 4$

Schritt 4.3.3

Entferne die Klammern.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = \sqrt[3]{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64} + 4$

Schritt 4.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.4.1

Passe jeden Term so an, dass er den Termen des binomischen Lehrsatzes entspricht.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (4 x^{2}) + 3 \cdot (4^{2} x) - 1 \cdot 4^{3}} + 4$

Schritt 4.3.4.2

Faktorisiere $x^{3} - 3 \cdot 4 x^{2} + 3 \cdot 4^{2} x - 1 \cdot 4^{3}$ mithilfe des Binomischen Lehrsatzes.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = \sqrt[3]{{(x - 4)}^{3}} + 4$

Schritt 4.3.4.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x - 4 + 4$

Schritt 4.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 4 + 4$ .

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Schritt 4.3.5.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x + 0$

Schritt 4.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt[3]{x} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$