Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2} - 121}{\sqrt{x} - \sqrt{11}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $121$ als $11^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 11^{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{11}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 11$ .

$\frac{(x + 11) (x - 11)}{\sqrt{x} - \sqrt{11}}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{(x + 11) (x - 11)}{\sqrt{x} - \sqrt{11}}$ mit $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{11}}{\sqrt{x} + \sqrt{11}}$ .

$\frac{(x + 11) (x - 11)}{\sqrt{x} - \sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{x} + \sqrt{11}}{\sqrt{x} + \sqrt{11}}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{(x + 11) (x - 11)}{\sqrt{x} - \sqrt{11}}$ mit $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{11}}{\sqrt{x} + \sqrt{11}}$ .

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{(\sqrt{x} - \sqrt{11}) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x \cdot 11} - \sqrt{x \cdot 11} - {\sqrt{11}}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 3.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{11}}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{11}}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{11}}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{11}}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x^{1} - {\sqrt{11}}^{2}}$

Schritt 3.3.1.5

Vereinfache.

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - {\sqrt{11}}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Schreibe ${\sqrt{11}}^{2}$ als $11$ um.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{11}$ als $11^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - 11^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - 11^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - 11^{1}}$

Schritt 3.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - 1 \cdot 11}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - 11}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 11$ .

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - 11}$

Schritt 3.4.2

Dividiere $(x + 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})$ durch $1$ .

$(x + 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})$

Schritt 4

Multipliziere $(x + 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (\sqrt{x} + \sqrt{11}) + 11 (\sqrt{x} + \sqrt{11})$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \sqrt{x} + x \sqrt{11} + 11 (\sqrt{x} + \sqrt{11})$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \sqrt{x} + x \sqrt{11} + 11 \sqrt{x} + 11 \sqrt{11}$