Elementarmathematik Beispiele

$7 + 5 x^{4} - 3 x^{2}$

Schritt 1

Setze $7 + 5 x^{4} - 3 x^{2}$ gleich $0$ .

$7 + 5 x^{4} - 3 x^{2} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$5 u^{2} - 3 u + 7 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.3

Setze die Werte $a = 5$ , $b = - 3$ und $c = 7$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 7)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 5 \cdot 7}}{2 \cdot 5}$

Schritt 2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot 7$ .

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Schritt 2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 20 \cdot 7}}{2 \cdot 5}$

Schritt 2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $7$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 140}}{2 \cdot 5}$

Schritt 2.4.1.3

Subtrahiere $140$ von $9$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{- 131}}{2 \cdot 5}$

Schritt 2.4.1.4

Schreibe $- 131$ als $- 1 (131)$ um.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 131}}{2 \cdot 5}$

Schritt 2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (131)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{131}$ um.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{131}}{2 \cdot 5}$

Schritt 2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{3 \pm i \sqrt{131}}{2 \cdot 5}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$u = \frac{3 \pm i \sqrt{131}}{10}$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{3 + i \sqrt{131}}{10}, \frac{3 - i \sqrt{131}}{10}$

Schritt 2.6

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = \frac{3 + i \sqrt{131}}{10}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{3 - i \sqrt{131}}{10}$

Schritt 2.7

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = \frac{3 + i \sqrt{131}}{10}$

Schritt 2.8

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3 + i \sqrt{131}}{10}}$

Schritt 2.8.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3 + i \sqrt{131}}{10}}$ .

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Schritt 2.8.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{3 + i \sqrt{131}}{10}}$ als $\frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}}}{\sqrt{10}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}}}{\sqrt{10}}$

Schritt 2.8.2.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}}}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Schritt 2.8.2.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.8.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}}}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 2.8.2.3.2

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Schritt 2.8.2.3.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Schritt 2.8.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.8.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Schritt 2.8.2.3.6

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 2.8.2.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.8.2.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.8.2.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.8.2.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.8.2.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.8.2.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{10^{1}}$

Schritt 2.8.2.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{10}$

Schritt 2.8.2.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{(3 + i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}$

Schritt 2.8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.8.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{(3 + i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}$

Schritt 2.8.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{(3 + i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}$

Schritt 2.8.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{(3 + i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}, - \frac{\sqrt{(3 + i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}$

Schritt 2.9

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = \frac{3 - i \sqrt{131}}{10}$

Schritt 2.10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.10.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = \frac{3 - i \sqrt{131}}{10}$

Schritt 2.10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3 - i \sqrt{131}}{10}}$

Schritt 2.10.3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3 - i \sqrt{131}}{10}}$ .

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Schritt 2.10.3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{3 - i \sqrt{131}}{10}}$ als $\frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}}}{\sqrt{10}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}}}{\sqrt{10}}$

Schritt 2.10.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}}}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Schritt 2.10.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.10.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}}}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 2.10.3.3.2

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Schritt 2.10.3.3.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Schritt 2.10.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.10.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Schritt 2.10.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 2.10.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.10.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.10.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.10.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.10.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.10.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{10^{1}}$

Schritt 2.10.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{10}$

Schritt 2.10.3.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{(3 - i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}$

Schritt 2.10.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.10.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{(3 - i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}$

Schritt 2.10.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{(3 - i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}$

Schritt 2.10.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{(3 - i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}, - \frac{\sqrt{(3 - i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}$

Schritt 2.11

Die Lösung von $5 x^{4} - 3 x^{2} + 7 = 0$ ist $x = \frac{\sqrt{(3 + i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}, - \frac{\sqrt{(3 + i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}, \frac{\sqrt{(3 - i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}, - \frac{\sqrt{(3 - i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}$ .

$x = \frac{\sqrt{(3 + i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}, - \frac{\sqrt{(3 + i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}, \frac{\sqrt{(3 - i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}, - \frac{\sqrt{(3 - i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}$

Schritt 3