Elementarmathematik Beispiele

$\cos (\tan^{-1} (u) - \cos^{-1} (v))$

Schritt 1

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ an.

$\cos (\tan^{-1} (u)) \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, u)$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\tan^{-1} (u)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, u)$ verläuft. Folglich ist $\cos (\tan^{-1} (u))$ $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.3.2

Potenziere $\sqrt{1 + u^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.3.3

Potenziere $\sqrt{1 + u^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.3.6

Schreibe ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ als $1 + u^{2}$ um.

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Schritt 2.1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + u^{2}}$ als ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.3.6.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.4

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} v + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.5

Kombiniere $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ und $v$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.6

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, u)$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\tan^{-1} (u)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, u)$ verläuft. Folglich ist $\sin (\tan^{-1} (u))$ $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.7

Mutltipliziere $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.8.1

Mutltipliziere $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.8.2

Potenziere $\sqrt{1 + u^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.8.3

Potenziere $\sqrt{1 + u^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.8.6

Schreibe ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ als $1 + u^{2}$ um.

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Schritt 2.1.8.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + u^{2}}$ als ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.8.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.8.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.8.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.8.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.8.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.8.6.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Schritt 2.1.9

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(v, \sqrt{1^{2} - v^{2}})$ , $(v, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\cos^{-1} (v)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(v, \sqrt{1^{2} - v^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\sin (\cos^{-1} (v))$ $\sqrt{1 - v^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{1 - v^{2}}$

Schritt 2.1.10

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{1^{2} - v^{2}}$

Schritt 2.1.11

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = v$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}$

Schritt 2.1.12

Multipliziere $\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}$ .

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Schritt 2.1.12.1

Kombiniere $\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ und $\sqrt{(1 + v) (1 - v)}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}}{1 + u^{2}}$

Schritt 2.1.12.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v + u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}}$