Elementarmathematik Beispiele

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ) = \cos (2 θ)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ)$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Schreibe $\cos^{4} (θ)$ als ${(\cos^{2} (θ))}^{2}$ um.

${(\cos^{2} (θ))}^{2} - \sin^{4} (θ)$

Schritt 2.2

Schreibe $\sin^{4} (θ)$ als ${(\sin^{2} (θ))}^{2}$ um.

${(\cos^{2} (θ))}^{2} - {(\sin^{2} (θ))}^{2}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos^{2} (θ)$ und $b = \sin^{2} (θ)$ .

$(\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Schritt 2.4

Ordne Terme um.

$(\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Schritt 2.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

Schritt 2.7

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (2 θ)$

Schritt 3

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ) = \cos (2 θ)$ ist eine Identitätsgleichung