Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2} (4 + x) (x - 9)}{(x + 2) (x - 7)} \geq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x^{2} = 0$

$4 + x = 0$

$x - 9 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 7 = 0$

Schritt 2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 5

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 6

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 7

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = - 4$

$x = 9$

$x = - 2$

$x = 7$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, - 4, 9, - 2, 7$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x^{2} (4 + x) (x - 9)}{(x + 2) (x - 7)}$ .

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Schritt 10.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} (4 + x) (x - 9)}{(x + 2) (x - 7)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 2) (x - 7) = 0$

Schritt 10.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 7 = 0$

Schritt 10.2.2

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 10.2.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 10.2.3

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.3.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 10.2.3.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 10.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 7$

Schritt 10.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 7) \cup (7, \infty)$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 7$

$7 < x < 9$

$x > 9$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 6)}^{2} (4 - 6) ((- 6) - 9)}{((- 6) + 2) ((- 6) - 7)} \geq 0$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $20.\overline{769230}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 3)}^{2} (4 - 3) ((- 3) - 9)}{((- 3) + 2) ((- 3) - 7)} \geq 0$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $- 10.8$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $- 1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 1)}^{2} (4 - 1) ((- 1) - 9)}{((- 1) + 2) ((- 1) - 7)} \geq 0$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $3.75$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 12.4

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 12.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(4)}^{2} (4 + 4) ((4) - 9)}{((4) + 2) ((4) - 7)} \geq 0$

Schritt 12.4.3

Die linke Seite $35.\overline{5}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 12.5

Teste einen Wert im Intervall $7 < x < 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $7 < x < 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 12.5.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(8)}^{2} (4 + 8) ((8) - 9)}{((8) + 2) ((8) - 7)} \geq 0$

Schritt 12.5.3

Die linke Seite $- 76.8$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.6

Teste einen Wert im Intervall $x > 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.6.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 12$

Schritt 12.6.2

Ersetze $x$ durch $12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(12)}^{2} (4 + 12) ((12) - 9)}{((12) + 2) ((12) - 7)} \geq 0$

Schritt 12.6.3

Die linke Seite $98.74285714$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 12.7

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Wahr

$- 4 < x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 0$ Wahr

$0 < x < 7$ Wahr

$7 < x < 9$ Falsch

$x > 9$ Wahr

$x < - 4$ Wahr

$- 4 < x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 0$ Wahr

$0 < x < 7$ Wahr

$7 < x < 9$ Falsch

$x > 9$ Wahr

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 4$ oder $- 2 < x \leq 0$ oder $0 \leq x < 7$ oder $x \geq 9$

Schritt 14

Vereine die Intervalle.

$x \leq - 4 or - 2 < x < 7 or x \geq 9$

Schritt 15

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 4] \cup (- 2, 7) \cup [9, \infty)$

Schritt 16