Elementarmathematik Beispiele

${(x + 6 y)}^{4}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(x)}^{4 - k} \cdot {(6 y)}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} {(x)}^{4 - 0} \cdot {(6 y)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} {(x)}^{4 - 1} \cdot {(6 y)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} {(x)}^{4 - 2} \cdot {(6 y)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} {(x)}^{4 - 3} \cdot {(6 y)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} {(x)}^{4 - 4} \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(x)}^{4} \cdot {(6 y)}^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(6 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(6 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(x)}^{4}$ mit $1$ .

${(x)}^{4} \cdot {(6 y)}^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(6 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(6 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $6 y$ an.

$x^{4} \cdot (6^{0} y^{0}) + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(6 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(6 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6^{0} x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(6 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(6 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 4.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(6 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(6 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(6 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(6 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(6 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(6 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$x^{4} + 4 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(6 y)}^{1} + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(6 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 4.8

Vereinfache.

$x^{4} + 4 x^{3} \cdot (6 y) + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(6 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 4.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{4} + 4 \cdot 6 x^{3} y + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(6 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$x^{4} + 24 x^{3} y + 6 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(6 y)}^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 4.11

Wende die Produktregel auf $6 y$ an.

$x^{4} + 24 x^{3} y + 6 x^{2} \cdot (6^{2} y^{2}) + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 4.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{4} + 24 x^{3} y + 6 \cdot 6^{2} x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 4.13

Multipliziere $6$ mit $6^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.13.1

Mutltipliziere $6$ mit $6^{2}$ .

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Schritt 4.13.1.1

Potenziere $6$ mit $1$ .

$x^{4} + 24 x^{3} y + 6^{1} \cdot 6^{2} x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 4.13.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{4} + 24 x^{3} y + 6^{1 + 2} x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 4.13.2

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{4} + 24 x^{3} y + 6^{3} x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 4.14

Potenziere $6$ mit $3$ .

$x^{4} + 24 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 4.15

Vereinfache.

$x^{4} + 24 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 4 \cdot x \cdot {(6 y)}^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 4.16

Wende die Produktregel auf $6 y$ an.

$x^{4} + 24 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 4 x \cdot (6^{3} y^{3}) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 4.17

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{4} + 24 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 4 \cdot 6^{3} x y^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 4.18

Potenziere $6$ mit $3$ .

$x^{4} + 24 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 4 \cdot 216 x y^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 4.19

Mutltipliziere $4$ mit $216$ .

$x^{4} + 24 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 864 x y^{3} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 4.20

Mutltipliziere ${(x)}^{0}$ mit $1$ .

$x^{4} + 24 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 864 x y^{3} + {(x)}^{0} \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 4.21

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{4} + 24 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 864 x y^{3} + 1 \cdot {(6 y)}^{4}$

Schritt 4.22

Mutltipliziere ${(6 y)}^{4}$ mit $1$ .

$x^{4} + 24 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 864 x y^{3} + {(6 y)}^{4}$

Schritt 4.23

Wende die Produktregel auf $6 y$ an.

$x^{4} + 24 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 864 x y^{3} + 6^{4} y^{4}$

Schritt 4.24

Potenziere $6$ mit $4$ .

$x^{4} + 24 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 864 x y^{3} + 1296 y^{4}$