Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{3 z^{2} + 16} = \sqrt{2 z^{2} - 8 z}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3 z^{2} + 16}}^{2} = {\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 z^{2} + 16}$ als ${(3 z^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 z^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(3 z^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 z^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 z^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 z^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 z^{2} + 16)}^{1} = {\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$3 z^{2} + 16 = {\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Vereinfache ${\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $2 z$ aus $2 z^{2} - 8 z$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1.1

Faktorisiere $2 z$ aus $2 z^{2}$ heraus.

$3 z^{2} + 16 = {\sqrt{2 z (z) - 8 z}}^{2}$

Schritt 2.3.1.1.2

Faktorisiere $2 z$ aus $- 8 z$ heraus.

$3 z^{2} + 16 = {\sqrt{2 z (z) + 2 z (- 4)}}^{2}$

Schritt 2.3.1.1.3

Faktorisiere $2 z$ aus $2 z (z) + 2 z (- 4)$ heraus.

$3 z^{2} + 16 = {\sqrt{2 z (z - 4)}}^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{2 z (z - 4)}}^{2}$ als $2 z (z - 4)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 z (z - 4)}$ als ${(2 z (z - 4))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 z^{2} + 16 = {({(2 z (z - 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 z^{2} + 16 = {(2 z (z - 4))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$3 z^{2} + 16 = {(2 z (z - 4))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 z^{2} + 16 = {(2 z (z - 4))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3 z^{2} + 16 = {(2 z (z - 4))}^{1}$

Schritt 2.3.1.2.5

Vereinfache.

$3 z^{2} + 16 = 2 z (z - 4)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 z^{2} + 16 = 2 z \cdot z + 2 z \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.4

Multipliziere $z$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.4.1

Bewege $z$ .

$3 z^{2} + 16 = 2 (z \cdot z) + 2 z \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.4.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$3 z^{2} + 16 = 2 z^{2} + 2 z \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$3 z^{2} + 16 = 2 z^{2} - 8 z$

Schritt 3

Löse nach $z$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $z$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$2 z^{2} - 8 z = 3 z^{2} + 16$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $z$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Subtrahiere $3 z^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 z^{2} - 8 z - 3 z^{2} = 16$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $3 z^{2}$ von $2 z^{2}$ .

$- z^{2} - 8 z = 16$

Schritt 3.3

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- z^{2} - 8 z - 16 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- z^{2} - 8 z - 16$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- z^{2}$ heraus.

$- (z^{2}) - 8 z - 16 = 0$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 8 z$ heraus.

$- (z^{2}) - (8 z) - 16 = 0$

Schritt 3.4.1.3

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$- (z^{2}) - (8 z) - 1 \cdot 16 = 0$

Schritt 3.4.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (z^{2}) - (8 z)$ heraus.

$- (z^{2} + 8 z) - 1 \cdot 16 = 0$

Schritt 3.4.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (z^{2} + 8 z) - 1 (16)$ heraus.

$- (z^{2} + 8 z + 16) = 0$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$- (z^{2} + 8 z + 4^{2}) = 0$

Schritt 3.4.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 z = 2 \cdot z \cdot 4$

Schritt 3.4.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$- (z^{2} + 2 \cdot z \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 3.4.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = z$ und $b = 4$ .

$- {(z + 4)}^{2} = 0$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $- {(z + 4)}^{2} = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(z + 4)}^{2} = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(z + 4)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(z + 4)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2

Dividiere ${(z + 4)}^{2}$ durch $1$ .

${(z + 4)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

${(z + 4)}^{2} = 0$

Schritt 3.6

Setze $z + 4$ gleich $0$ .

$z + 4 = 0$

Schritt 3.7

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z = - 4$