Elementarmathematik Beispiele

$\frac{4 y^{2} - 8 y + 12}{y^{2} + y - 6} = 3$

Schritt 1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{2} - 8 y + 12$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{2}$ heraus.

$\frac{4 (y^{2}) - 8 y + 12}{y^{2} + y - 6} = 3$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 8 y$ heraus.

$\frac{4 (y^{2}) + 4 (- 2 y) + 12}{y^{2} + y - 6} = 3$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 y^{2} + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 3}{y^{2} + y - 6} = 3$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{2} + 4 (- 2 y)$ heraus.

$\frac{4 (y^{2} - 2 y) + 4 \cdot 3}{y^{2} + y - 6} = 3$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (y^{2} - 2 y) + 4 \cdot 3$ heraus.

$\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{y^{2} + y - 6} = 3$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y^{2} + y - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$- 2, 3$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = 3$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$(y - 2) (y + 3), 1$

Schritt 2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$(y - 2) (y + 3)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = 3$ mit $(y - 2) (y + 3)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = 3$ mit $(y - 2) (y + 3)$ .

$\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} ((y - 2) (y + 3)) = 3 ((y - 2) (y + 3))$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(y - 2) (y + 3)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} ((y - 2) (y + 3)) = 3 ((y - 2) (y + 3))$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 (y^{2} - 2 y + 3) = 3 ((y - 2) (y + 3))$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y^{2} + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 3 = 3 ((y - 2) (y + 3))$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$4 y^{2} - 8 y + 4 \cdot 3 = 3 ((y - 2) (y + 3))$

Schritt 3.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 ((y - 2) (y + 3))$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere $(y - 2) (y + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y (y + 3) - 2 (y + 3))$

Schritt 3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y \cdot y + y \cdot 3 - 2 (y + 3))$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y \cdot y + y \cdot 3 - 2 y - 2 \cdot 3)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y^{2} + y \cdot 3 - 2 y - 2 \cdot 3)$

Schritt 3.3.2.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y^{2} + 3 \cdot y - 2 y - 2 \cdot 3)$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y^{2} + 3 y - 2 y - 6)$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $2 y$ von $3 y$ .

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y^{2} + y - 6)$

Schritt 3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 y^{2} + 3 y + 3 \cdot - 6$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 6$ .

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 y^{2} + 3 y - 18$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $3 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{2} - 8 y + 12 - 3 y^{2} = 3 y - 18$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $3 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{2} - 8 y + 12 - 3 y^{2} - 3 y = - 18$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $3 y^{2}$ von $4 y^{2}$ .

$y^{2} - 8 y + 12 - 3 y = - 18$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $3 y$ von $- 8 y$ .

$y^{2} - 11 y + 12 = - 18$

Schritt 4.2

Addiere $18$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 11 y + 12 + 18 = 0$

Schritt 4.3

Addiere $12$ und $18$ .

$y^{2} - 11 y + 30 = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere $y^{2} - 11 y + 30$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $30$ und deren Summe $- 11$ ist.

$- 6, - 5$

Schritt 4.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(y - 6) (y - 5) = 0$

Schritt 4.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 6 = 0$

$y - 5 = 0$

Schritt 4.6

Setze $y - 6$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $y - 6$ gleich $0$ .

$y - 6 = 0$

Schritt 4.6.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 6$

Schritt 4.7

Setze $y - 5$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.7.1

Setze $y - 5$ gleich $0$ .

$y - 5 = 0$

Schritt 4.7.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 5$

Schritt 4.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(y - 6) (y - 5) = 0$ wahr machen.

$y = 6, 5$