Elementarmathematik Beispiele

$- \frac{1}{3} x = {(y - 2)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als ${(y - 2)}^{2} = - \frac{1}{3} x$ um.

${(y - 2)}^{2} = - \frac{1}{3} x$

Schritt 2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y - 2 = \pm \sqrt{- \frac{1}{3} x}$

Schritt 3

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{3}$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{- \frac{x}{3}}$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y - 2 = \sqrt{- \frac{x}{3}}$

Schritt 4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \sqrt{- \frac{x}{3}} + 2$

Schritt 4.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y - 2 = - \sqrt{- \frac{x}{3}}$

Schritt 4.4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \sqrt{- \frac{x}{3}} + 2$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{- \frac{x}{3}} + 2$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{3}} + 2$

$y = \sqrt{- \frac{x}{3}} + 2$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{3}} + 2$

Schritt 5

Setze den Radikanden in $\sqrt{- \frac{x}{3}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- \frac{x}{3} \geq 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x}{3} \geq 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Teile jeden Term in $- \frac{x}{3} \geq 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- \frac{x}{3}}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{x}{3}}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.1.2.2

Dividiere $\frac{x}{3}$ durch $1$ .

$\frac{x}{3} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$\frac{x}{3} \leq 0$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{x}{3} \cdot 3 \leq 0 \cdot 3$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{3} \cdot 3 \leq 0 \cdot 3$

Schritt 6.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x \leq 0 \cdot 3$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

$x \leq 0$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq 0}$

Schritt 8

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \in ℝ}$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, 0], {x | x \leq 0}$

Wertebereich: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Schritt 10