Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} - y^{2} - 6 x - 4 y - 11 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - y^{2} - 6 x - 4 y = 11$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - 6 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 3}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$d = - 3$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $36$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$e = 0 - 9$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$e = - 9$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - 3)}^{2} - 9$ ein.

${(x - 3)}^{2} - 9$

Schritt 1.3

Setze ${(x - 3)}^{2} - 9$ für $x^{2} - 6 x$ ein in der Gleichung $x^{2} - y^{2} - 6 x - 4 y = 11$ .

${(x - 3)}^{2} - 9 - y^{2} - 4 y = 11$

Schritt 1.4

Bringe $- 9$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $9$ auf beiden Seiten.

${(x - 3)}^{2} - y^{2} - 4 y = 11 + 9$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $- y^{2} - 4 y$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Schritt 1.5.3.2.2

Schreibe $- 1 \cdot - 2$ als $- - 2$ um.

$d = - - 2$

Schritt 1.5.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$d = 2$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 4)}^{2}$ und $4$ .

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Schritt 1.5.4.2.1.1.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (4)$ an.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.4.2.1.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.4.2.1.1.4

Mutltipliziere $4^{2}$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.4.2.1.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.4.2.1.1.6

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Schritt 1.5.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - - 4$

Schritt 1.5.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Schritt 1.5.4.2.2

Addiere $0$ und $4$ .

$e = 4$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(y + 2)}^{2} + 4$ ein.

$- {(y + 2)}^{2} + 4$

Schritt 1.6

Setze $- {(y + 2)}^{2} + 4$ für $- y^{2} - 4 y$ ein in der Gleichung $x^{2} - y^{2} - 6 x - 4 y = 11$ .

${(x - 3)}^{2} - {(y + 2)}^{2} + 4 = 11 + 9$

Schritt 1.7

Bringe $4$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $4$ auf beiden Seiten.

${(x - 3)}^{2} - {(y + 2)}^{2} = 11 + 9 - 4$

Schritt 1.8

Vereinfache $11 + 9 - 4$ .

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Schritt 1.8.1

Addiere $11$ und $9$ .

${(x - 3)}^{2} - {(y + 2)}^{2} = 20 - 4$

Schritt 1.8.2

Subtrahiere $4$ von $20$ .

${(x - 3)}^{2} - {(y + 2)}^{2} = 16$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $16$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 4$

$b = 4$

$k = - 2$

$h = 3$

Schritt 4

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm 1 \cdot (x - (3)) - 2$

Schritt 5

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Entferne die Klammern.

$y = 1 \cdot (x - (3)) - 2$

Schritt 5.2

Vereinfache $1 \cdot (x - (3)) - 2$ .

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $x - (3)$ mit $1$ .

$y = x - (3) - 2$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = x - 3 - 2$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$y = x - 5$

Schritt 6

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Entferne die Klammern.

$y = - 1 \cdot (x - (3)) - 2$

Schritt 6.2

Vereinfache $- 1 \cdot (x - (3)) - 2$ .

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - 1 \cdot (x - 3) - 2$

Schritt 6.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 1 x - 1 \cdot - 3 - 2$

Schritt 6.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = - x - 1 \cdot - 3 - 2$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$y = - x + 3 - 2$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$y = - x + 1$

Schritt 7

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = x - 5, y = - x + 1$

Schritt 8

Die Asymptoten sind $y = x - 5$ und $y = - x + 1$ .

Asymptoten: $y = x - 5, y = - x + 1$

Schritt 9