Elementarmathematik Beispiele

$16 x^{2} + 80 x + 16 y^{2} - 112 y + 247 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $247$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{2} + 80 x + 16 y^{2} - 112 y = - 247$

Schritt 2

Teile beide Seiten der Gleichung durch $16$ .

$x^{2} + 5 x + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} + 5 x$ an.

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Schritt 3.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 5$

$c = 0$

Schritt 3.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{5}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$d = \frac{5}{2}$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $\frac{25}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Schritt 3.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ ein.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Schritt 4

Setze ${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ für $x^{2} + 5 x$ ein in der Gleichung $x^{2} + 5 x + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$

Schritt 5

Bringe $- \frac{25}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{25}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16} + \frac{25}{4}$

Schritt 6

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} - 7 y$ an.

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Schritt 6.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 7$

$c = 0$

Schritt 6.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 6.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 6.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 7}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$d = \frac{- 7}{2}$

Schritt 6.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{7}{2}$

Schritt 6.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 6.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 7)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{49}{4 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{49}{4}$

Schritt 6.4.2.2

Subtrahiere $\frac{49}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{49}{4}$

Schritt 6.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$ ein.

${(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$

Schritt 7

Setze ${(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$ für $y^{2} - 7 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + 5 x + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4} = - \frac{247}{16} + \frac{25}{4}$

Schritt 8

Bringe $- \frac{49}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{49}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{25}{4} + \frac{49}{4}$

Schritt 9

Vereinfache $- \frac{247}{16} + \frac{25}{4} + \frac{49}{4}$ .

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Schritt 9.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247}{16} + \frac{25 + 49}{4}$

Schritt 9.1.2

Addiere $25$ und $49$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247}{16} + \frac{74}{4}$

Schritt 9.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{74}{4}$

Schritt 9.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $74$ und $4$ .

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $74$ heraus.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{2 (37)}{4}$

Schritt 9.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{2 \cdot 37}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{2 \cdot 37}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37}{2}$

Schritt 9.3

Um $\frac{37}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37}{2} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 9.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $\frac{37}{2}$ mit $\frac{8}{8}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37 \cdot 8}{2 \cdot 8}$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37 \cdot 8}{16}$

Schritt 9.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247 + 37 \cdot 8}{16}$

Schritt 9.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.6.1

Mutltipliziere $37$ mit $8$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247 + 296}{16}$

Schritt 9.6.2

Addiere $- 247$ und $296$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{49}{16}$

Schritt 10

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 11

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = \frac{7}{4}$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = \frac{7}{2}$

Schritt 12

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(- \frac{5}{2}, \frac{7}{2})$

Schritt 13

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(- \frac{5}{2}, \frac{7}{2})$

Radius: $\frac{7}{4}$

Schritt 14