Elementarmathematik Beispiele

$(\sqrt{32}, \sqrt{32})$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten $(x, y)$ in Polarkoordinaten $(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \sqrt{{(\sqrt{32})}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

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Schritt 3.1

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$r = \sqrt{{\sqrt{16 (2)}}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$r = \sqrt{{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Wende die Produktregel auf $4 \sqrt{2}$ an.

$r = \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$r = \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{16 \cdot 2 + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{16 \cdot 2 + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{16 \cdot 2 + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{16 \cdot 2 + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$r = \sqrt{32 + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.6

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$r = \sqrt{32 + {\sqrt{16 (2)}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.6.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$r = \sqrt{32 + {\sqrt{4^{2} \cdot 2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{32 + {\sqrt{4^{2} \cdot 2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \sqrt{32 + {(4 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.1

Wende die Produktregel auf $4 \sqrt{2}$ an.

$r = \sqrt{32 + 4^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.8.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$r = \sqrt{32 + 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{32 + 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.9

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \sqrt{32 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.9.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$r = \sqrt{32 + 32}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.10.2

Addiere $32$ und $32$ .

$r = \sqrt{64}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.10.3

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$r = \sqrt{8^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.10.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = 8$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 8$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 8$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = 8$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{32}})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von $1$ ist $θ = 45 °$ .

$r = 8$

$θ = 45 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in $(r, θ)$ -Form.

$(8, 45 °)$