Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} - 4 x - 8 y - 12 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x - 8 y - 12 = - y^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Addiere $8 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x - 12 = - y^{2} + 8 y$

Schritt 1.1.1.3

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x = - y^{2} + 8 y + 12$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - y^{2} + 8 y + 12$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - y^{2} + 8 y + 12$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $- 4$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8 y$ heraus.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 (2 y)}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 y}{- 1}$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - 1 \cdot (2 y) + \frac{12}{- 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Schreibe $- 1 \cdot (2 y)$ als $- (2 y)$ um.

$x = \frac{y^{2}}{4} - (2 y) + \frac{12}{- 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - 2 y + \frac{12}{- 4}$

Schritt 1.1.2.3.1.5

Dividiere $12$ durch $- 4$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - 2 y - 3$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{y^{2}}{4} - 2 y - 3$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{4}$

$b = - 2$

$c = - 3$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - 1 \cdot 4$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$d = - 4$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 3 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$e = - 3 - \frac{4}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$e = - 3 - \frac{4}{\frac{4}{4}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$e = - 3 - \frac{4}{1}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$e = - 3 - 1 \cdot 4$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - 3 - 4$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $- 3$ .

$e = - 7$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{4} {(y - 4)}^{2} - 7$ ein.

$\frac{1}{4} {(y - 4)}^{2} - 7$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y - 4)}^{2} - 7$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 7$

$k = 4$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 7, 4)$

Schritt 4