Elementarmathematik Beispiele

$5 x^{2} + 40 x - y + 78 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $5 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$40 x - y + 78 = - 5 x^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Subtrahiere $40 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y + 78 = - 5 x^{2} - 40 x$

Schritt 1.1.1.3

Subtrahiere $78$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = - 5 x^{2} - 40 x - 78$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- y = - 5 x^{2} - 40 x - 78$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = - 5 x^{2} - 40 x - 78$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 5 x^{2}}{- 1} + \frac{- 40 x}{- 1} + \frac{- 78}{- 1}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{- 5 x^{2}}{- 1} + \frac{- 40 x}{- 1} + \frac{- 78}{- 1}$

Schritt 1.1.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 5 x^{2}}{- 1} + \frac{- 40 x}{- 1} + \frac{- 78}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 5 x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (- 5 x^{2}) + \frac{- 40 x}{- 1} + \frac{- 78}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (- 5 x^{2})$ als $- (- 5 x^{2})$ um.

$y = - (- 5 x^{2}) + \frac{- 40 x}{- 1} + \frac{- 78}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$y = 5 x^{2} + \frac{- 40 x}{- 1} + \frac{- 78}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 40 x}{- 1}$ .

$y = 5 x^{2} - 1 \cdot (- 40 x) + \frac{- 78}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.5

Schreibe $- 1 \cdot (- 40 x)$ als $- (- 40 x)$ um.

$y = 5 x^{2} - (- 40 x) + \frac{- 78}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.6

Mutltipliziere $- 40$ mit $- 1$ .

$y = 5 x^{2} + 40 x + \frac{- 78}{- 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.7

Dividiere $- 78$ durch $- 1$ .

$y = 5 x^{2} + 40 x + 78$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $5 x^{2} + 40 x + 78$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 5$

$b = 40$

$c = 78$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{40}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $40$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $40$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 5$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (5)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{20}{5}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $5$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$d = \frac{5 \cdot 4}{5}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$d = \frac{5 \cdot 4}{5 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{4}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$d = 4$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 78 - \frac{40^{2}}{4 \cdot 5}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $40$ mit $2$ .

$e = 78 - \frac{1600}{4 \cdot 5}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$e = 78 - \frac{1600}{20}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $1600$ durch $20$ .

$e = 78 - 1 \cdot 80$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $80$ .

$e = 78 - 80$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $80$ von $78$ .

$e = - 2$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $5 {(x + 4)}^{2} - 2$ ein.

$5 {(x + 4)}^{2} - 2$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 5 {(x + 4)}^{2} - 2$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 5$

$h = - 4$

$k = - 2$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 4, - 2)$

Schritt 4