Elementarmathematik Beispiele

$\sin (θ) \csc (θ) - \cot^{2} (θ) \sin^{2} (θ) = \sin^{2} (θ)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\sin (θ) \csc (θ) - \cot^{2} (θ) \sin^{2} (θ)$

Schritt 2

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\sin (θ) \csc (θ) - (\csc^{2} (θ) - 1) \sin^{2} (θ)$

Schritt 3

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 3.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (θ)$ an.

$\sin (θ) \frac{1}{\sin (θ)} - (\csc^{2} (θ) - 1) \sin^{2} (θ)$

Schritt 3.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (θ)$ an.

$\sin (θ) \frac{1}{\sin (θ)} - ({(\frac{1}{\sin (θ)})}^{2} - 1) \sin^{2} (θ)$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (θ)}$ an.

$\sin (θ) \frac{1}{\sin (θ)} - (\frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)} - 1) \sin^{2} (θ)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) \frac{1}{\sin (θ)} - (\frac{1^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} - 1) {\sin (θ)}^{2}$

Schritt 4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} - 1) {\sin (θ)}^{2}$

Schritt 4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - (\frac{1}{{\sin (θ)}^{2}} - 1) {\sin (θ)}^{2}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + (- \frac{1}{{\sin (θ)}^{2}} - - 1) {\sin (θ)}^{2}$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + (- \frac{1}{{\sin (θ)}^{2}} + 1) {\sin (θ)}^{2}$

Schritt 4.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - \frac{1}{{\sin (θ)}^{2}} {\sin (θ)}^{2} + 1 {\sin (θ)}^{2}$

Schritt 4.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\sin (θ)}^{2}$ .

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Schritt 4.1.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{{\sin (θ)}^{2}}$ in den Zähler.

$1 + \frac{- 1}{{\sin (θ)}^{2}} {\sin (θ)}^{2} + 1 {\sin (θ)}^{2}$

Schritt 4.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{- 1}{{\sin (θ)}^{2}} {\sin (θ)}^{2} + 1 {\sin (θ)}^{2}$

Schritt 4.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$1 - 1 + 1 {\sin (θ)}^{2}$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere ${\sin (θ)}^{2}$ mit $1$ .

$1 - 1 + {\sin (θ)}^{2}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0 + {\sin (θ)}^{2}$

Schritt 4.3

Addiere $0$ und ${\sin (θ)}^{2}$ .

$\sin^{2} (θ)$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sin (θ) \csc (θ) - \cot^{2} (θ) \sin^{2} (θ) = \sin^{2} (θ)$ ist eine Identitätsgleichung