Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} - 2 x + 8 y + 9 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x + 8 y + 9 = - x^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 y + 9 = - x^{2} + 2 x$

Schritt 1.1.1.3

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 y = - x^{2} + 2 x - 9$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $8 y = - x^{2} + 2 x - 9$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y = - x^{2} + 2 x - 9$ durch $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{- x^{2}}{8} + \frac{2 x}{8} + \frac{- 9}{8}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y}{8} = \frac{- x^{2}}{8} + \frac{2 x}{8} + \frac{- 9}{8}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{8} + \frac{2 x}{8} + \frac{- 9}{8}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 x}{8} + \frac{- 9}{8}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y = - \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 (x)}{8} + \frac{- 9}{8}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y = - \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 x}{2 \cdot 4} + \frac{- 9}{8}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 x}{2 \cdot 4} + \frac{- 9}{8}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{- 9}{8}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} - \frac{9}{8}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} - \frac{9}{8}$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{8}$

$b = \frac{1}{4}$

$c = - \frac{9}{8}$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{1}{4}}{2 (- \frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$d = \frac{1}{4} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = \frac{1}{4} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{8})})$

Schritt 1.2.3.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{8}$ .

$d = \frac{1}{4} (- \frac{1}{\frac{2}{8}})$

Schritt 1.2.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 1.2.3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{1}{4} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{8}})$

Schritt 1.2.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{1}{4} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}})$

Schritt 1.2.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{4} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}})$

Schritt 1.2.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{4} (- \frac{1}{\frac{1}{4}})$

Schritt 1.2.3.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{1}{4} (- (1 \cdot 4))$

Schritt 1.2.3.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.3.2.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- (1 \cdot 4)$ heraus.

$d = \frac{1}{4} (4 (- 1 \cdot (1)))$

Schritt 1.2.3.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{4} (4 (- 1 \cdot (1)))$

Schritt 1.2.3.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$d = - 1 \cdot (1)$

Schritt 1.2.3.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$d = - 1$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{9}{8} - \frac{{(\frac{1}{4})}^{2}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$e = - \frac{9}{8} - \frac{\frac{1^{2}}{4^{2}}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = - \frac{9}{8} - \frac{\frac{1}{4^{2}}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$e = - \frac{9}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - \frac{9}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{- 4 (\frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{8}$ .

$e = - \frac{9}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 4}{8}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $8$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$e = - \frac{9}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{\frac{4 (- 1)}{8}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$e = - \frac{9}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{9}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{9}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{9}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = - \frac{9}{8} - (\frac{1}{16} (- 1 \cdot 2))$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$e = - \frac{9}{8} - (\frac{1}{2 (8)} (- 1 \cdot 2))$

Schritt 1.2.4.2.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 1 \cdot 2$ heraus.

$e = - \frac{9}{8} - (\frac{1}{2 (8)} (2 \cdot - 1))$

Schritt 1.2.4.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{9}{8} - (\frac{1}{2 \cdot 8} (2 \cdot - 1))$

Schritt 1.2.4.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{9}{8} - (\frac{1}{8} \cdot - 1)$

Schritt 1.2.4.2.1.6

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $- 1$ .

$e = - \frac{9}{8} - \frac{- 1}{8}$

Schritt 1.2.4.2.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{9}{8} - - \frac{1}{8}$

Schritt 1.2.4.2.1.8

Multipliziere $- - \frac{1}{8}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - \frac{9}{8} + 1 (\frac{1}{8})$

Schritt 1.2.4.2.1.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $1$ .

$e = - \frac{9}{8} + \frac{1}{8}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 9 + 1}{8}$

Schritt 1.2.4.2.3

Addiere $- 9$ und $1$ .

$e = \frac{- 8}{8}$

Schritt 1.2.4.2.4

Dividiere $- 8$ durch $8$ .

$e = - 1$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{8} {(x - 1)}^{2} - 1$ ein.

$- \frac{1}{8} {(x - 1)}^{2} - 1$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{8} \cdot {(x - 1)}^{2} - 1$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{8}$

$h = 1$

$k = - 1$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(1, - 1)$

Schritt 4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

Schritt 4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{8})}$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{8}}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Schritt 4.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 4.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 4.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 \cdot 2)$

Schritt 4.3.5

Multipliziere $- (1 \cdot 2)$ .

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Schritt 4.3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2$

Schritt 5

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(1, - 3)$

Schritt 6