Elementarmathematik Beispiele

$9 x^{2} + 9 y^{2} - 6 x + 24 y = 19$

Schritt 1

Teile beide Seiten der Gleichung durch $9$ .

$x^{2} + y^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9}$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - \frac{2 x}{3}$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - \frac{2}{3}$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1$ und $1$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$d = \frac{- 1 (1) \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$d = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.3.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{3}$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2}{3}$ an.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$e = 0 - \frac{1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{4}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{4}{9})}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{4}{9}$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4}$

Schritt 2.4.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 2.4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.4.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 2.4.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{1}{9}$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{9}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{9}$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ ein.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$

Schritt 3

Setze ${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ für $x^{2} - \frac{2 x}{3}$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9} + y^{2} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9}$

Schritt 4

Bringe $- \frac{1}{9}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{9}$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + y^{2} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9} + \frac{1}{9}$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + \frac{8 y}{3}$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = \frac{8}{3}$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{8}{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{2 (4)}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 (4)}{3} \cdot \frac{1}{2 (1)}$

Schritt 5.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 4}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{4}{3}$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(\frac{8}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{8}{3}$ an.

$e = 0 - \frac{\frac{8^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.1.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{64}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{64}{9}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{64}{9}}{4}$

Schritt 5.4.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 0 - (\frac{64}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 5.4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.4.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$e = 0 - (\frac{4 (16)}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 5.4.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - (\frac{4 \cdot 16}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 5.4.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{16}{9}$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $\frac{16}{9}$ von $0$ .

$e = - \frac{16}{9}$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9}$ ein.

${(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9}$

Schritt 6

Setze ${(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9}$ für $y^{2} + \frac{8 y}{3}$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9} = \frac{19}{9} + \frac{1}{9}$

Schritt 7

Bringe $- \frac{16}{9}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{16}{9}$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{19}{9} + \frac{1}{9} + \frac{16}{9}$

Schritt 8

Vereinfache $\frac{19}{9} + \frac{1}{9} + \frac{16}{9}$ .

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Schritt 8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{19 + 1 + 16}{9}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.1

Addiere $19$ und $1$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{20 + 16}{9}$

Schritt 8.2.2

Addiere $20$ und $16$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{36}{9}$

Schritt 8.2.3

Dividiere $36$ durch $9$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = 4$

Schritt 9

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 10

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = 2$

$h = \frac{1}{3}$

$k = - \frac{4}{3}$

Schritt 11

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(\frac{1}{3}, - \frac{4}{3})$

Schritt 12

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(\frac{1}{3}, - \frac{4}{3})$

Radius: $2$

Schritt 13