Elementarmathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Schritt 1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Schritt 2

Verwende das Vorzeichendiagramm und die gegebene Matrix, um den Kofaktor für jedes Element zu ermitteln.

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Schritt 2.1

Berechne die Unterdeterminante für Element $a_{11}$ .

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Schritt 2.1.1

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Schritt 2.1.2

Berechne die Determinante.

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Schritt 2.1.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{11} = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 4$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$a_{11} = 12 - 2 \cdot 4$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$a_{11} = 12 - 8$

Schritt 2.1.2.2.2

Subtrahiere $8$ von $12$ .

$a_{11} = 4$

Schritt 2.2

Berechne die Unterdeterminante für Element $a_{12}$ .

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Schritt 2.2.1

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Berechne die Determinante.

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Schritt 2.2.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{12} = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 4$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$a_{12} = 12 - 1 \cdot 4$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$a_{12} = 12 - 4$

Schritt 2.2.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $12$ .

$a_{12} = 8$

Schritt 2.3

Berechne die Unterdeterminante für Element $a_{13}$ .

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Schritt 2.3.1

Die Unterdeterminante für $a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.3.2

Berechne die Determinante.

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Schritt 2.3.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{13} = 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$a_{13} = 8 - 1 \cdot 4$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$a_{13} = 8 - 4$

Schritt 2.3.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $8$ .

$a_{13} = 4$

Schritt 2.4

Berechne die Unterdeterminante für Element $a_{21}$ .

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Schritt 2.4.1

Die Unterdeterminante für $a_{21}$ ist die Determinante, wenn Zeile $2$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Schritt 2.4.2

Berechne die Determinante.

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Schritt 2.4.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{21} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$a_{21} = 6 - 2 \cdot 1$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$a_{21} = 6 - 2$

Schritt 2.4.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$a_{21} = 4$

Schritt 2.5

Berechne die Unterdeterminante für Element $a_{22}$ .

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Schritt 2.5.1

Die Unterdeterminante für $a_{22}$ ist die Determinante, wenn Zeile $2$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Schritt 2.5.2

Berechne die Determinante.

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Schritt 2.5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{22} = 3 \cdot 3 - 1 \cdot 1$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$a_{22} = 9 - 1 \cdot 1$

Schritt 2.5.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$a_{22} = 9 - 1$

Schritt 2.5.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$a_{22} = 8$

Schritt 2.6

Berechne die Unterdeterminante für Element $a_{23}$ .

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Schritt 2.6.1

Die Unterdeterminante für $a_{23}$ ist die Determinante, wenn Zeile $2$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.6.2

Berechne die Determinante.

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Schritt 2.6.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{23} = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 2$

Schritt 2.6.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.2.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$a_{23} = 6 - 1 \cdot 2$

Schritt 2.6.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$a_{23} = 6 - 2$

Schritt 2.6.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$a_{23} = 4$

Schritt 2.7

Berechne die Unterdeterminante für Element $a_{31}$ .

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Schritt 2.7.1

Die Unterdeterminante für $a_{31}$ ist die Determinante, wenn Zeile $3$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 2.7.2

Berechne die Determinante.

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Schritt 2.7.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{31} = 2 \cdot 4 - 4 \cdot 1$

Schritt 2.7.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.7.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$a_{31} = 8 - 4 \cdot 1$

Schritt 2.7.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$a_{31} = 8 - 4$

Schritt 2.7.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $8$ .

$a_{31} = 4$

Schritt 2.8

Berechne die Unterdeterminante für Element $a_{32}$ .

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Schritt 2.8.1

Die Unterdeterminante für $a_{32}$ ist die Determinante, wenn Zeile $3$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 2.8.2

Berechne die Determinante.

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Schritt 2.8.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{32} = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 1$

Schritt 2.8.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.8.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.2.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$a_{32} = 12 - 4 \cdot 1$

Schritt 2.8.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$a_{32} = 12 - 4$

Schritt 2.8.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $12$ .

$a_{32} = 8$

Schritt 2.9

Berechne die Unterdeterminante für Element $a_{33}$ .

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Schritt 2.9.1

Die Unterdeterminante für $a_{33}$ ist die Determinante, wenn Zeile $3$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 2.9.2

Berechne die Determinante.

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Schritt 2.9.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{33} = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 2$

Schritt 2.9.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.9.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.9.2.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$a_{33} = 12 - 4 \cdot 2$

Schritt 2.9.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$a_{33} = 12 - 8$

Schritt 2.9.2.2.2

Subtrahiere $8$ von $12$ .

$a_{33} = 4$

Schritt 2.10

Die Kofaktormatrix ist eine Matrix der Unterdeterminanten mit verändertem Vorzeichen für die Elemente der $-$ -Positionen im Vorzeichendiagramm.

$[\begin{array}{c} 4 & - 8 & 4 \\ - 4 & 8 & - 4 \\ 4 & - 8 & 4 \end{array}]$