Elementarmathematik Beispiele

${(2 (\cos (240 °) + i \sin (240 °)))}^{4}$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

${(2 (- \cos (60) + i \sin (240 °)))}^{4}$

Schritt 1.1.2

Der genau Wert von $\cos (60)$ ist $\frac{1}{2}$ .

${(2 (- \frac{1}{2} + i \sin (240 °)))}^{4}$

Schritt 1.1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.

${(2 (- \frac{1}{2} + i (- \sin (60))))}^{4}$

Schritt 1.1.4

Der genau Wert von $\sin (60)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(2 (- \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})))}^{4}$

Schritt 1.1.5

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(2 (- \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

Schritt 1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(2 (- \frac{1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

${(2 (\frac{- 1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

Schritt 1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 (\frac{- 1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

Schritt 1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(- 1 + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{i \sqrt{3}}{2}$ in den Zähler.

${(- 1 + 2 \frac{- i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- 1 + 2 \frac{- i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Schritt 1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

${(- 1 - i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 2

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${(- 1)}^{4} + 4 {(- 1)}^{3} (- i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 + 4 {(- 1)}^{3} (- i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.2

Multipliziere ${(- 1)}^{3}$ mit $- 1$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.1

Bewege $- 1$ .

$1 + 4 (- {(- 1)}^{3}) (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{3}$ .

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Schritt 3.1.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + 4 ({(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3}) (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + 4 {(- 1)}^{1 + 3} (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.2.3

Addiere $1$ und $3$ .

$1 + 4 {(- 1)}^{4} (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.3

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 + 4 \cdot 1 (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$1 + 4 (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.7.1

Wende die Produktregel auf $- i \sqrt{3}$ an.

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 ({(- i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.7.2

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 ({(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (1 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.9

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.10

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.11

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.11.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.11.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.11.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 3^{\frac{2}{2}}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.11.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 3^{\frac{2}{2}}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.11.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 3^{1}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.11.5

Berechne den Exponenten.

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.12

Multipliziere $6 (- 1 \cdot 3)$ .

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Schritt 3.1.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.12.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 3$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.13

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.14

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.14.1

Wende die Produktregel auf $- i \sqrt{3}$ an.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 ({(- i)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.14.2

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 ({(- 1)}^{3} i^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.15

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (- i^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.16

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (- (i^{2} \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.17

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (- (- 1 \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.18

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (- - i {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (1 i {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.20

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.21

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i \sqrt{3^{3}}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.22

Potenziere $3$ mit $3$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i \sqrt{27}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.23

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.1.23.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i \sqrt{9 (3)}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.23.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.24

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i (3 \sqrt{3})) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.25

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (3 \cdot i \sqrt{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.26

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 (i \sqrt{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Schritt 3.1.27

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.27.1

Wende die Produktregel auf $- i \sqrt{3}$ an.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(- i)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}$

Schritt 3.1.27.2

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(- 1)}^{4} i^{4} {\sqrt{3}}^{4}$

Schritt 3.1.28

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 1 i^{4} {\sqrt{3}}^{4}$

Schritt 3.1.29

Mutltipliziere $i^{4}$ mit $1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + i^{4} {\sqrt{3}}^{4}$

Schritt 3.1.30

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 3.1.30.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(i^{2})}^{2} {\sqrt{3}}^{4}$

Schritt 3.1.30.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{4}$

Schritt 3.1.30.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 1 {\sqrt{3}}^{4}$

Schritt 3.1.31

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{4}$ mit $1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}$

Schritt 3.1.32

Schreibe ${\sqrt{3}}^{4}$ als $3^{2}$ um.

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Schritt 3.1.32.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Schritt 3.1.32.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Schritt 3.1.32.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}$

Schritt 3.1.32.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.1.32.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.1.32.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.32.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Schritt 3.1.32.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Schritt 3.1.32.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}$

Schritt 3.1.32.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{2}$

Schritt 3.1.33

Potenziere $3$ mit $2$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 9$

Schritt 3.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $18$ von $1$ .

$4 i \sqrt{3} - 17 - 12 i \sqrt{3} + 9$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $12 i \sqrt{3}$ von $4 i \sqrt{3}$ .

$- 8 i \sqrt{3} - 17 + 9$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.3.1

Addiere $- 17$ und $9$ .

$- 8 i \sqrt{3} - 8$

Schritt 3.2.3.2

Stelle $- 8 i \sqrt{3}$ und $- 8$ um.

$- 8 - 8 i \sqrt{3}$